Verifique se u=(1,6,4), v=(2,4,-1) e w=(-1,2,5) formam uma base do espaço vetorial.

Para verificar se u=(1,6,4), v=(2,4,-1) e w=(-1,2,5) formam uma base do espaço vetorial, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço vetorial. Para verificar se são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Caso contrário, são linearmente dependentes. | 1 | 2 | -1 | |----|---|----| | 6 | 4 | 2 | | 4 | -1| 5 | Calculando o determinante dessa matriz, temos: 1 * (4 * 5 - 2 * (-1)) - 2 * (6 * 5 - 4 * (-1)) + (-1) * (6 * (-1) - 4 * 4) = 22 Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Para verificar se geram todo o espaço vetorial, podemos tentar escrever um vetor arbitrário (x,y,z) como combinação linear desses vetores: (x,y,z) = a * u + b * v + c * w Substituindo os valores dos vetores e igualando as coordenadas, temos o seguinte sistema de equações: a + 2b - c = x 6a + 4b + 2c = y 4a - b + 5c = z Podemos resolver esse sistema utilizando eliminação de Gauss: | 1 | 2 | -1 | x | |----|---|----|---| | 6 | 4 | 2 | y | | 4 | -1| 5 | z | Subtraindo 6 vezes a primeira linha da segunda linha e 4 vezes a primeira linha da terceira linha, obtemos: | 1 | 2 | -1 | x | |----|---|----|---| | 0 | -8| 8 | y - 6x | | 0 | -9| 9 | z - 4x | Dividindo a segunda linha por -8 e a terceira linha por -9, temos: | 1 | 2 | -1 | x | |----|---|----|--------| | 0 | 1 | -1 | (6x - y)/8 | | 0 | 1 | -1 | (4x - z)/9 | Subtraindo a segunda linha da terceira linha, obtemos: | 1 | 2 | -1 | x | |----|---|----|--------| | 0 | 1 | -1 | (6x - y)/8 | | 0 | 0 | 0 | (4x - z)/9 - (6x - y)/8 | Simplificando a última equação, temos: (4x - z)/9 - (6x - y)/8 = 0 Resolvendo para y, temos: y = (48x - 9z)/41 Portanto, podemos escrever qualquer vetor (x,y,z) como combinação linear dos vetores u, v e w. Logo, esses vetores formam uma base do espaço vetorial.