Grátis: 8. Se X ∼ Bin(n; p). Em que µ = 12 e σ2 = 3. Calcule: (a) n e p. (b) E(Z) e V ar(Z), em que Z = X−12√ 3 . Resp:(a) n=16; p=0.75 (b) E(Z) = 0; V ar(...

Probabilidade e Estatísticas

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8. Se X ∼ Bin(n; p). Em que µ = 12 e σ2 = 3. Calcule: (a) n e p. (b) E(Z) e V ar(Z), em que Z = X−12√ 3 . Resp:(a) n=16; p=0.75 (b) E(Z) = 0; V ar(Z) = 1.

Aprendendo Através de Exercícios

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Para calcular (a) n e p, utilizamos as fórmulas µ = np e σ² = np(1-p). Substituindo os valores fornecidos, obtemos n = 16 e p = 0.75. Para calcular (b) E(Z) e Var(Z), usamos as fórmulas E(Z) = 0 e Var(Z) = 1.

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1. Uma urna contém 8 bolas, sendo 3 bolas amarelas e 5 bolas vermelhas e retira-se uma bola dessa urna. Seja X a variável que indica se a bola amarela foi sorteada. Determine: (a) A probabilidade de sair uma bola amarela? Resp: 3/8. (b) E(X) e V ar(X)? Resp: E(X) = 3/8 e V ar(X) = (3/8).(5/8).

2. Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para estas dê as respectivas distribuições de probabilidades. Quando julgar que a variável não é binomial, aponte as razões de sua conclusão. (a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, sem reposição, cinco bolas. Seja X o número de bolas brancas nas 5 extrações. Resp: Não. (b) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposição, cinco bolas. Seja X o número de bolas brancas nas 5 extrações. Resp: Sim.

5. Certa fábrica produz betoneiras, dos quais 15% são defeituosos. Achar a probabilidade de que, numa amostra de 10 betoneiras selecionados ao acaso, tenhamos nenhum defeituoso. Pelo menos um defeituoso. No máximo um defeituoso. Resp: 0.1969; 0.8031; 0.5443.

6. Seja X uma variável que indica o número de parafusos defeituosos produzidos pela máquina A. Se a probabilidade desta máquina produzir um parafuso defeituoso é de 5%. Ao selecionar aleatoriamente dois parafusos, qual a probabilidade de ambos serem defeituosos? Ao selecionarmos 50 parafusos, qual é a E(X) e a V ar(X)? Resp: 0.0025; E(X) = 2.5; V ar(X) = 2.4.

7. Achar a média e a variância da variável aleatória Y = 3X +2, sendo o experimento repetido 20 vezes e a probabilidade de sucesso na variável aleatória X é de 0.3. Resp: E(Y ) = 20; V ar(Y ) = 37.8.

14. Em média há duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade de se receber no máximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos? Resp: 0.4331; 0.0498.

16. Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, o número de vazamento no peŕıodo de um mês é em média 4. Qual é a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos um vazamento num setor de 3 km de extensão? Resp: 0.1813.

17. Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz tem duração inferior a 20 horas. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas desse fabricante, mas sob a seguinte condição: ela aceita o lote se, em 10 válvulas escolhidas ao acaso, no máximo uma tiver duração inferior a 20 horas; caso contrário o lote é rejeitado. (a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado? (b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto é, na verdade a proporção de válvulas com duração inferior a 20 horas é de 10%. Qual a probabilidade do lote ser aceito, segundo o critério acima? Resp: (a) 0.0861; (b) 0.736098.

2 19. Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.000 cm. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 cm tenha nenhum corte? No máximo dois cortes? Pelo menos dois cortes? Resp: 0.3679; 0.9197; 0.2642.

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1. Uma urna contém 8 bolas, sendo 3 bolas amarelas e 5 bolas vermelhas e retira-se uma bola dessa urna. Seja X a variável que indica se a bola amarela foi sorteada. Determine: (a) A probabilidade de sair uma bola amarela? Resp: 3/8. (b) E(X) e V ar(X)? Resp: E(X) = 3/8 e V ar(X) = (3/8).(5/8).

5. Certa fábrica produz betoneiras, dos quais 15% são defeituosos. Achar a probabilidade de que, numa amostra de 10 betoneiras selecionados ao acaso, tenhamos nenhum defeituoso. Pelo menos um defeituoso. No máximo um defeituoso. Resp: 0.1969; 0.8031; 0.5443.

7. Achar a média e a variância da variável aleatória Y = 3X +2, sendo o experimento repetido 20 vezes e a probabilidade de sucesso na variável aleatória X é de 0.3. Resp: E(Y ) = 20; V ar(Y ) = 37.8.

14. Em média há duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade de se receber no máximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos? Resp: 0.4331; 0.0498.

16. Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, o número de vazamento no peŕıodo de um mês é em média 4. Qual é a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos um vazamento num setor de 3 km de extensão? Resp: 0.1813.

2 ﻿19. Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.000 cm. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 cm tenha nenhum corte? No máximo dois cortes? Pelo menos dois cortes? Resp: 0.3679; 0.9197; 0.2642.

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