2. Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para estas dê as respectivas distribuições de probabilidades. Quando julgar que a variável não é binomial, aponte as razões de sua conclusão. (a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, sem reposição, cinco bolas. Seja X o número de bolas brancas nas 5 extrações. Resp: Não. (b) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposição, cinco bolas. Seja X o número de bolas brancas nas 5 extrações. Resp: Sim.

Question

2. Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para estas dê as respectivas distribuições de probabilidades. Quando julgar...

Ed · Answer

Vamos analisar as duas situações apresentadas para determinar se as variáveis são binomiais.

(a) **De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, sem reposição, cinco bolas. Seja X o número de bolas brancas nas 5 extrações.**
- Neste caso, a variável não é binomial porque a extração é feita sem reposição. Isso significa que a probabilidade de extrair uma bola branca muda a cada extração, já que o número total de bolas diminui. Portanto, a resposta está correta: **Não**.

(b) **De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposição, cinco bolas. Seja X o número de bolas brancas nas 5 extrações.**
- Aqui, a variável é binomial porque a extração é feita com reposição. Isso significa que a probabilidade de extrair uma bola branca permanece constante em cada extração (10 bolas brancas em um total de 30 bolas). Portanto, a resposta está correta: **Sim**.

Resumindo:
- (a) Não é binomial.
- (b) É binomial.

As distribuições de probabilidades para a variável binomial (b) seriam dadas pela distribuição binomial $ B(n, p) $, onde $ n = 5 $ (número de tentativas) e $ p = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa).

Ed · Answer

A variável (a) não é binomial, pois a extração é sem reposição, o que viola a condição de independência necessária para uma distribuição binomial. A variável (b) é binomial, pois a extração é com reposição, mantendo a independência entre as tentativas. A distribuição de probabilidades para a variável (b) é dada por P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k), onde n é o número de tentativas, p é a probabilidade de sucesso e k é o número de sucessos desejados.

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1. Uma urna contém 8 bolas, sendo 3 bolas amarelas e 5 bolas vermelhas e retira-se uma bola dessa urna. Seja X a variável que indica se a bola amarela foi sorteada. Determine: (a) A probabilidade de sair uma bola amarela? Resp: 3/8. (b) E(X) e V ar(X)? Resp: E(X) = 3/8 e V ar(X) = (3/8).(5/8).

5. Certa fábrica produz betoneiras, dos quais 15% são defeituosos. Achar a probabilidade de que, numa amostra de 10 betoneiras selecionados ao acaso, tenhamos nenhum defeituoso. Pelo menos um defeituoso. No máximo um defeituoso. Resp: 0.1969; 0.8031; 0.5443.

7. Achar a média e a variância da variável aleatória Y = 3X +2, sendo o experimento repetido 20 vezes e a probabilidade de sucesso na variável aleatória X é de 0.3. Resp: E(Y ) = 20; V ar(Y ) = 37.8.

8. Se X ∼ Bin(n; p). Em que µ = 12 e σ2 = 3. Calcule: (a) n e p. (b) E(Z) e V ar(Z), em que Z = X−12√ 3 . Resp:(a) n=16; p=0.75 (b) E(Z) = 0; V ar(Z) = 1.

14. Em média há duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade de se receber no máximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos? Resp: 0.4331; 0.0498.

16. Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, o número de vazamento no peŕıodo de um mês é em média 4. Qual é a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos um vazamento num setor de 3 km de extensão? Resp: 0.1813.

2 19. Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.000 cm. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 cm tenha nenhum corte? No máximo dois cortes? Pelo menos dois cortes? Resp: 0.3679; 0.9197; 0.2642.

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8. Se X ∼ Bin(n; p). Em que µ = 12 e σ2 = 3. Calcule: (a) n e p. (b) E(Z) e V ar(Z), em que Z = X−12√ 3 . Resp:(a) n=16; p=0.75 (b) E(Z) = 0; V ar(Z) = 1.

14. Em média há duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade de se receber no máximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos? Resp: 0.4331; 0.0498.

16. Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, o número de vazamento no peŕıodo de um mês é em média 4. Qual é a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos um vazamento num setor de 3 km de extensão? Resp: 0.1813.

2 ﻿19. Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.000 cm. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 cm tenha nenhum corte? No máximo dois cortes? Pelo menos dois cortes? Resp: 0.3679; 0.9197; 0.2642.

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