QUESTÃO 42 - O quarto, o quinto e o sexto termos de uma progressão aritmética são expressos por x + 1, x2 + 4 e 2x2 + 3, respectivamente. A so...

Vamos analisar a situação: Para uma progressão aritmética, a fórmula geral para o termo \( a_n \) é dada por \( a_n = a_1 + (n-1)d \), onde \( a_1 \) é o primeiro termo, \( n \) é o número do termo e \( d \) é a razão da progressão. Dado que o quarto termo é \( x + 1 \), o quinto termo é \( x^2 + 4 \) e o sexto termo é \( 2x^2 + 3 \), podemos determinar a razão da progressão. Calculando a razão da progressão: Para encontrar a razão, subtraímos o quarto termo do quinto termo: \( (x^2 + 4) - (x + 1) = x^2 + 4 - x - 1 = x^2 - x + 3 \) Agora, subtraímos o quinto termo do sexto termo: \( (2x^2 + 3) - (x^2 + 4) = 2x^2 + 3 - x^2 - 4 = x^2 - 1 \) Como a progressão é aritmética, essas duas diferenças devem ser iguais: \( x^2 - x + 3 = x^2 - 1 \) \( -x + 3 = -1 \) \( -x = -4 \) \( x = 4 \) Agora que encontramos o valor de \( x \), podemos calcular a soma dos dez primeiros termos da progressão aritmética: \( S_{10} = \frac{10}{2}(2a_1 + (10-1)d) \) Substituindo \( x = 4 \) e os valores dos termos dados: \( S_{10} = \frac{10}{2}(2(4) + (10-1)(4 - 1)) \) \( S_{10} = 5(8 + 9) \) \( S_{10} = 5(17) \) \( S_{10} = 85 \) Portanto, a soma dos dez primeiros termos dessa progressão aritmética é igual a 85. A alternativa correta é: c) 270