Métodos de Decomposição
Os métodos de decomposição para resolução dos sistemas de equações lineares ,Ax b= consistem em decompor de forma única a matriz A do sistema no produto de duas matrizes triangular inferior e superior respectivamente, e resolvermos dois sistemas triangulares inferior e superior respectivamente, os quais são facilmente resolvidos como os exibidos anteriormente.
2 .2 .3 Método de Decomposição LU
O Método de Decomposição LU consiste na decomposição única da matriz = ( )ijA a ,

=i , j 1,...,n do sistema de equações, no produto de uma matriz = ( ) ijL , i,j 1, ,n=  triangular inferior, com os elementos da diagonal = = ii 1, i 1,..., n por uma matriz = ( ) =i jU u , i, j 1, ..., n triangular superior.
Dessa forma, enunciamos o seguinte resultado:
Teorema 2.1
Seja uma matriz ijA a , i, j 1, ,n.=( ) =  Se os menores principais de A, ,i 0∆ ≠ ,i 1, 2,..., n 1= - então A se decompõe, de maneira única, no produto de uma matriz triangular inferior ijL , i, j 1, ,n,=( ) =  com ,i i 1= por uma matriz triangular superior ijU u , i, j 1, ,n.= ( ) = 
Além disso,
=
( ) = ( ) = ∏
ii
i 1
det A det U u .
Prova: Referência [1].
Processo de Decomposição LU
Por facilidade de entendimento, vamos decompor uma matriz ijA a ,= ( ) i , j 1, , 3,=  isto é, n 3= e, em seguida, generalizamos os resultados para qual-quer dimensão como segue:
Considere LU = A: