Lista de Exercícios - Decomposição LU e solução de sistemas lineares

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Lista 3: decomposição LU e solução de sistemas lineares
1. Calcule a decomposição LU das seguintes matrizes (sem pivoteamento par-
cial):
A =
[
4 3
6 3
]
B =
1 2 −14 3 1
2 2 3
 C =
2 2 12 3 −2
4 1 −2
 D =
2 2 12 2 −2
4 3 −2

2. Calcule a decomposição LUP das seguintes matrizes (sem pivoteamento par-
cial):
A =
 1 2 64 8 −1
−2 3 5
 , B =

1 4 6 1
2 8 5 −1
3 5 2 −5
4 2 −1 −3
 , C =

1 4 2 3
1 2 1 0
2 6 3 1
0 0 1 4

3. Resolva cada um dos sistemas triangulares abaixo pelo método substituição
direta ou reversa, conforme o sistema seja triangular inferior ou superior.
(a)

x− 2y − 7z = −24
3y − 2z = 2
4z = 5
(b)

x+ 4y + 6z = 11
9y + 7z = 9
z = 7
(c)

14z = 20
y + 12z = 24
4x+ 16y + 26z = 46
(d)

3x+ y + 2z = 0
−z = 0
−3z = 0
(e)

x− y − 2z − w = 0
5y + 3z + w = 0
−z − w = 0
(f)

x+ 2y − w = 0
y + 2z − w = 0
2z − w = 0
−3w = 6
1
2
4. Use a decomposição LUP com pivoteamento parcial para resolver os seguintes
sistemas
(a)
2.0 4.0 1.04.0 −10.0 2.0
1.0 2.0 4.0
xy
z
 =
 5.0−8.0
13.0

(b)

4.0 2.0 −1.0 3.0
3.0 −4.0 2.0 5.0
−2.0 6.0 −5.0 −2.0
5.0 1.0 6.0 −3.0


x
y
z
w
 =

16.9
−14.0
25.0
9.4

(c)

4.0 2.0 3.0 4.0
6.0 5.0 4.0 5.0
3.0 5.0 4.0 7.0
3.0 6.0 8.0 3.0


x
y
z
w
 =

9.0
10.0
9.0
8.0

5. Seja P uma matriz de permutação n× n.
(a) Mostre que a inversa de P é a sua transposta P t.
(b) Mostre que o determinante de P é igual a ±1.
(c) Descreva um algoritmo que, tendo como entrada a permutação das linhas,
determina o sinal de det(P ).
6. Seja A uma matriz n× n cuja decomposição LUP é dada por PA = LU .
(a) Calcule o determinante de L.
(b) Explique como calcular o determinante de U .
(c) Descreva um algoritmo que, tendo como entrada a decomposição LUP
de uma matriz, calcula o seu determinante.
(d) Calcule o determinante das matrizes dos exercícios 1 e 2.
7. Sejam L1 e L2 matrizes triangulares inferiores n× n.
(a) Dada uma matriz triangular inferior, determine sua decomposição como
produto de matrizes da forma Lji(c), em que 1 ≤ i < j ≤ n e c ∈ R.
(b) Mostre que L1L2 é triangular inferior.
(c) Mostre que se as diagonais de L1 e L2 são ambas formadas apenas de 1s,
então o mesmo vale para L1L2.
(d) Mostre que a inversa de uma matriz triangular inferior também é trian-
gular inferior.
(e) Que tipo de matriz é a transposta de uma matriz triangular inferior?