12) Dados os pontos A = (2, -1, 1) e B = (3, 4, 4) determine o ponto do eixo Z de forma que o ângulo APB seja reto.

Para encontrar o ponto no eixo Z de forma que o ângulo APB seja reto, podemos usar a fórmula de produto escalar. Primeiro, vamos encontrar o vetor AB, que é (3-2, 4-(-1), 4-1) = (1, 5, 3). Em seguida, encontramos o vetor AP, que é (2-2, -1-(-1), z-1) = (0, 0, z-1). O produto escalar entre AB e AP deve ser zero, pois o ângulo é reto. Assim, (1, 5, 3) . (0, 0, z-1) = 0. Resolvendo isso, obtemos z = 2. Portanto, o ponto no eixo Z é (0, 0, 2).