5. Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de R$ 3.000,00, com 45 dias de prazo, e outra de R$ 8.400,00, pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias de prazo. Sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 12% ao ano, determine o valor nominal dessa dívida.

Question

5.	Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de R$ 3.000,00, com 45 dias de prazo, e outra de R$ 8.400,00, pagável em 60 dias. O negociante quer ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos calcular o valor presente das duas dívidas e, em seguida, determinar o valor nominal da nova dívida.

1. **Dívida 1: R$ 3.000,00 em 45 dias**
   - Taxa de desconto: 12% ao ano = 1% ao mês (12% / 12 meses)
   - Desconto para 45 dias: $ \frac{45}{30} = 1,5 $ meses
   - Valor presente (VP1):
     $$
     VP1 = \frac{3000}{1 + (0,01 \times 1,5)} = \frac{3000}{1 + 0,015} = \frac{3000}{1,015} \approx 2955,64
     $$

2. **Dívida 2: R$ 8.400,00 em 60 dias**
   - Desconto para 60 dias: $ \frac{60}{30} = 2 $ meses
   - Valor presente (VP2):
     $$
     VP2 = \frac{8400}{1 + (0,01 \times 2)} = \frac{8400}{1 + 0,02} = \frac{8400}{1,02} \approx 8235,29
     $$

3. **Valor total presente das dívidas:**
   $$
   VP_{total} = VP1 + VP2 \approx 2955,64 + 8235,29 \approx 11190,93
   $$

4. **Agora, vamos calcular o valor nominal (VN) da nova dívida com 30 dias:**
   - Desconto para 30 dias: $ \frac{30}{30} = 1 $ mês
   - Usando a fórmula do valor presente:
     $$
     VP_{total} = \frac{VN}{1 + (0,01 \times 1)}
     $$
     $$
     11190,93 = \frac{VN}{1,01}
     $$
     $$
     VN = 11190,93 \times 1,01 \approx 11299,84
     $$

Portanto, o valor nominal da nova dívida é aproximadamente **R$ 11.299,84**.

Ed · Answer

Para determinar o valor nominal da nova dívida que substituirá as duas dívidas existentes, podemos usar a fórmula do valor presente no regime de desconto comercial simples.

Para a primeira dívida de R$ 3.000,00 com 45 dias de prazo, e considerando a taxa de desconto de 12% ao ano:
Valor presente da primeira dívida = Valor nominal / (1 + (taxa * prazo))
VP1 = 3000 / (1 + (0.12 * 45/360))
VP1 = 3000 / (1 + 0.015)
VP1 = 3000 / 1.015
VP1 = 2955,67

Para a segunda dívida de R$ 8.400,00 com 60 dias de prazo:
Valor presente da segunda dívida = Valor nominal / (1 + (taxa * prazo))
VP2 = 8400 / (1 + (0.12 * 60/360))
VP2 = 8400 / (1 + 0.02)
VP2 = 8400 / 1.02
VP2 = 8235,29

Somando os valores presentes das duas dívidas existentes:
Valor presente total = VP1 + VP2
Valor presente total = 2955,67 + 8235,29
Valor presente total = 11190,96

Agora, para encontrar o valor nominal da nova dívida com 30 dias de prazo:
Valor nominal = Valor presente total / (1 - (taxa * prazo))
Valor nominal = 11190,96 / (1 - (0.12 * 30/360))
Valor nominal = 11190,96 / (1 - 0.01)
Valor nominal = 11190,96 / 0.99
Valor nominal ≈ 11303,00

Portanto, o valor nominal da nova dívida que substituirá as duas dívidas existentes é aproximadamente R$ 11.303,00.

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