Questão 7. Qual das seguintes afirmações é falsa? (a) Se f é diferenciável em p ∈ R2, então f é cont́ınua em p; (b) Se f : R2 → R admite de...

Vamos analisar cada alternativa: (a) Se f é diferenciável em p ∈ R2, então f é contínua em p; Isso é verdade. Se uma função é diferenciável em um ponto, ela também é contínua nesse ponto. (b) Se f : R2 → R admite derivadas parciais em p ∈ R2, então ∇f(p) = 0; Isso não é necessariamente verdade. A existência de derivadas parciais não implica que o gradiente da função seja igual a zero. (c) Se A ⊂ R2 é aberto, então o complementar de A é fechado; Isso é verdade. Em um espaço topológico, o complementar de um conjunto aberto é fechado. (d) Se f é contínua em p, então f(q) é arbitrariamente próximo a f(p) para q suficientemente próximo a p; Isso é verdade. Pela definição de continuidade, para qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que se a distância entre q e p for menor que δ, então a distância entre f(q) e f(p) é menor que ε. (e) Se f admite derivadas parciais em p ∈ R2 e ∇f(p) = 0, então ∂f/∂x (p) = ∂f/∂y (p) = 0. Isso não é necessariamente verdade. O fato de o gradiente ser zero não implica que as derivadas parciais sejam zero. Portanto, a alternativa falsa é a letra (b).