3. (2 pontos) Determine a equação do plano tangente à superfície z = 4x2 − y2 + 2y no ponto (−1, 2, 4).

Claro, para determinar a equação do plano tangente à superfície z = 4x^2 − y^2 + 2y no ponto (−1, 2, 4), primeiro precisamos encontrar o vetor gradiente da função z em relação a x e y. Em seguida, podemos usar o vetor gradiente para formar a equação do plano tangente. Vamos lá: Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y: ∂z/∂x = 8x ∂z/∂y = -2y + 2 Agora, avaliamos essas derivadas no ponto dado (−1, 2, 4): ∂z/∂x = 8*(-1) = -8 ∂z/∂y = -2*2 + 2 = -2 Assim, o vetor gradiente é dado por <8x, -2y + 2>, que no ponto dado se torna <-8, -2>. A equação do plano tangente é dada por: -8(x - (-1)) + (-2)(y - 2) + (z - 4) = 0 -8(x + 1) - 2(y - 2) + (z - 4) = 0 -8x - 8 - 2y + 4 + z - 4 = 0 -8x - 2y + z - 8 = 0 Portanto, a equação do plano tangente à superfície z = 4x^2 − y^2 + 2y no ponto (−1, 2, 4) é -8x - 2y + z - 8 = 0.