Questão resolvida - Seja o cilindro de equação (x-1)y2 e a curva de equação z4-x-y, determine a reta tangente ao plano formado pela intercessão das superfícies no ponto P0(85,48,425). - reta tangente

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• Seja o cilindro de equação e a curva de equação , x - 1 + y = 1( )2 2 z = 4 - x - y2 2
determine a reta tangente à curva de intercessão no ponto .P = , ,0
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Resolução:
 
O vetor normal de uma curva definida pela intercessão entre o cilíndo e o curva é dado por;
 
= 𝛻F p ×𝛻F pm 1( 0) 2( 0)
 
Assim, devemos definir e para obter o gradiente;F1 F2
 
curva : F = - z + 4 - x - y e cilindro : F = x - 1 + y - 11
2 2
2 ( )
2 2
 
Devemos encontrar o gradiente para cada uma das curvas, o gradiente é dado por;
 
𝛻f x, y, z = , ,( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕z
O gradiente da equação das cruvas são;
 
𝛻F = -2x, -2y, -1 e 𝛻F = 2 x - 1 , 2y, 0 = 2x - 2, 2y, 0 1 ( ) 2 ( ( ) ) ( )
No ponto, os gradientes são;
 
𝛻F , , = 2 -1 , 2 ⋅ , 0 = , , 0 e 𝛻F , , = -2 ⋅ , -2 ⋅ , -1 = - , - , -11
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Para achar o o vetor normal da reta , devemos fazer o produto vetorial entre os vatores m
gradientes do cilindro e do plano:
 
 
A equação geral de uma reta vetorial é dada por;
 
r t = P + t( ) 0 m
 
Substituindo o ponto e as coordenadas do vetor diretor P = , ,0
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; a reta tangente à curva de intercessão entre o cilindro e o plano é:= - , - ,m
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r t = , , + - , - , r t = , , + - , - ,( )
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t → ( )
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t
6
5
t
8
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t
 
r t = - , - , +( )
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t
4
5
6
5
t
4
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8
5
t
 
 
i j k
6
5
8
5
0
6
5
-
8
5
-1
i j
6
5
8
5
-
16
5
-
8
5
2i+0j
+0k =
- - k
128
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 - 0i( )- j +
6
5
- i + 0j - k =
8
5
48
25
- , - , = - , - ,
8
5
6
5
128-48
25
8
5
6
5
16
5
m
(Resposta )