O gradiente da função vetorial f(x,y,z) = xy2 + 3x2 - z3 no ponto (2, -1, 4) é:

Para encontrar o gradiente da função vetorial \( f(x,y,z) = xy^2 + 3x^2 - z^3 \) no ponto \( (2, -1, 4) \), primeiro calculamos as derivadas parciais em relação a \( x \), \( y \) e \( z \): \( \frac{\partial f}{\partial x} = y^2 + 6x \) \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2xy \) \( \frac{\partial f}{\partial z} = -3z^2 \) Agora, substituímos as coordenadas do ponto \( (2, -1, 4) \) nessas derivadas parciais: \( \frac{\partial f}{\partial x} = (-1)^2 + 6(2) = 1 + 12 = 13 \) \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2(2)(-1) = -4 \) \( \frac{\partial f}{\partial z} = -3(4)^2 = -48 \) Portanto, o gradiente da função \( f(x,y,z) = xy^2 + 3x^2 - z^3 \) no ponto \( (2, -1, 4) \) é \( \nabla f = (13, -4, -48) \).