Seja g(x) = π ln(x^2 sen^2x), definida para 0 < x < π/2. Determine o valor da taxa de variação de g(x) em relação a x no instante de x = π/4 8 + 2π...

Para determinar a taxa de variação de \( g(x) \) em relação a \( x \) no instante \( x = \frac{\pi}{4} \), precisamos calcular a derivada de \( g(x) \) em relação a \( x \) e então substituir \( x \) por \( \frac{\pi}{4} \). Primeiro, vamos encontrar a derivada de \( g(x) \): \[ g(x) = \pi \ln(x^2 \sin^2 x) \] Aplicando a regra do produto e a derivada do logaritmo, obtemos: \[ g'(x) = \pi \cdot \frac{1}{x^2 \sin^2 x} \cdot (2x \sin^2 x + x^2 \cdot 2\sin x \cos x) \] \[ g'(x) = \pi \cdot \frac{2x\sin^2 x + 2x^2 \sin x \cos x}{x^2 \sin^2 x} \] \[ g'(x) = \pi \cdot \frac{2x(\sin^2 x + x \sin x \cos x)}{x^2 \sin^2 x} \] \[ g'(x) = \frac{2\pi}{x}(\sin x + x \cos x) \] Agora, para encontrar a taxa de variação no instante \( x = \frac{\pi}{4} \), substituímos \( x \) por \( \frac{\pi}{4} \): \[ g'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \] \[ g'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] \[ g'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{8}\right) \] \[ g'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4\sqrt{2} + 2\pi \] Portanto, o valor da taxa de variação de \( g(x) \) em relação a \( x \) no instante \( x = \frac{\pi}{4} \) é \( 4\sqrt{2} + 2\pi \).