Cálculo Diferencial: Limites e Funções

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja bem-vindo(a) a esta aula, na qual seremos convidados a 
generalizar um pouco mais o conceito de limite de funções, compreendendo, 
principalmente, os casos em que 𝒙 → ∞. Faremos isso com base em um exemplo 
intuitivo. Além disso, reservamos um espaço para discutirmos melhor o que 
significa uma função contínua e que tipo de informações podemos extrair dessa 
interpretação. Como discutido anteriormente, uma das passagens na resolução 
de limites envolve o fato de que uma função contínua tem limite no ponto igual 
ao valor da função. Voltaremos a discutir a diferença entre limite de função e 
valor da função no ponto. 
TEMA 1 – LIMITE NO INFINITO: POR QUE PRECISAMOS ANALISAR O LIMITE 
DE UMA FUNÇÃO QUANDO x CRESCE INDEFINIDAMENTE? 
Suponha que conheçamos uma função que descreve o tamanho da 
população de moscas à medida que o tempo passa. Então, um cientista 
preocupado com saber o comportamento dessa população daqui a muito tempo 
poderia investigar: 
𝐥𝐢𝐦
𝒕→∞
𝑷(𝒕). 
Em um caso muito simplificado de crescimento populacional, podemos 
imaginar as moscas se multiplicando indefinidamente. Assim, vários modelos 
irão indicar que: 
𝐥𝐢𝐦
𝒕→∞
𝑷(𝒕) = ∞. 
Tais modelos querem dizer que a quantidade de moscas tende ao infinito. 
Entretanto, os modelos mais próximos da realidade indicarão que a quantidade 
de moscas possui um limitante superior, o qual chamaremos de assíntota 
horizontal. Isso porque existem limitantes reais, como espaço físico, 
disponibilidade de alimentos e tantos outros, que restringem o tamanho da 
população a longo prazo. Veja que a análise que faremos pressupõe 𝒕 → ∞, o 
que aparentemente não tem aplicação real (visto que não existe nenhum tempo 
tão grande quanto o infinito), mas podemos identificar uma forte interpretação de 
convergência em certos casos. 
 
 
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TEMA 2 – ANÁLISE DA FUNÇÃO y = 1/xn: COMO ENTENDER O 
COMPORTAMENTO DA FUNÇÃO y = 1/xn PARA n ≥ 1? 
A principal técnica de resolução de limite pressupõe a análise das 
funções: 
𝒚 =
𝟏
𝒙𝒏 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 > 𝟏. 
Então, considere o Gráfico 1. Note que, por se tratar da função 𝒚 = 𝟏/𝒙, 
podemos entender o comportamento dessa função ao substituir valores 
crescentes de 𝒙. Para 𝒙 = 𝟏, obtemos 𝟏/𝟏 = 𝟏; para 𝒙 = 𝟐, obtemos 1/2; para 
𝒙 = 𝟑, obtemos 𝟏/𝟑 e assim por diante. Precisamos observar, e isso fica claro 
com a leitura do Gráfico 1, que, à medida que 𝒙 cresce indefinidamente, isto é, 
sem parar, o resultado dessa função tende a 0. 
Gráfico 1 – Função y = 1/x no domínio x = [0,11], desenvolvida com uso do 
software Geogebra 
 
Em termos de limite de funções, podemos afirmar que: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏
𝒙
= 𝟎. 
Veja, também, que, ao escolher 𝒏 > 𝟏, também podemos observar que 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝒏
= 𝟎. 
Note que tal resultado pode ser explorado, intuitivamente, da mesma 
forma que induzimos o resultado para 𝒏 = 𝟏. Inclusive, para valores maiores de 
𝒏, a função 𝟏/𝒙𝒏 converge mais rapidamente para 0. Poderíamos estar 
interessados, também, em investigar o que ocorre com essas funções quando 
𝒙 → −∞. Note, observando o Gráfico 2, que 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝒏
= 𝟎. 
 
 
 
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Gráfico 2 – Função y = 1/x no domínio x = [-3, 3], desenvolvida com uso do 
software Geogebra 
 
Intuitivamente, também podemos observar, pelo Gráfico 2, que 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝟏
𝒙
= −∞; 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟏
𝒙
= ∞. 
Daí, temos três conclusões. Em primeiro lugar, que 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙
= ∄, 
visto que os limites laterais são diferentes. Em segundo lugar, que existe uma 
diferença entre limite no infinito e limite infinito. Essa nomenclatura fica clara à 
medida que é utilizada. Em terceiro lugar, dizemos que a reta 𝒚 = 𝟎, nesse caso, 
é uma assíntota horizontal, visto que a função nunca retorna 0 nas vizinhanças 
de 𝒙 → ∞. 
TEMA 3 – TÉCNICA PARA RESOLUÇÃO DE LIMITES NO INFINITO: COMO 
UTILIZAR A ÁLGEBRA PARA DETERMINAR O COMPORTAMENTO DE 
DETERMINADAS FUNÇÕES QUANDO x→∞? 
Então, vejamos como utilizar os resultados discutidos na seção anterior 
para encontrar 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙𝟐−𝒙+𝟑
𝟐𝒙𝟑+𝟏
. 
Note, inicialmente, que, se tentarmos substituir 𝒙 por infinito, o que é 
matematicamente inviável, visto que ∞ não é um número, encontraremos ∞/∞, 
que também é uma indeterminação. Mais uma vez, estamos tentando substituir 
uma inconsistência e a álgebra está apresentando que não existe tal valor da 
função no ponto. Entretanto, pode existir o limite da função quando 𝒙 → ∞, isto 
é, para a vizinhança de ∞. Para extrair tal valor, podemos operar evidenciando 
 
 
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uma determinada potência de 𝒙 no numerador e no denominador. Veja que, 
escolhendo 𝒙𝟐, escrevemos: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙𝟐−𝒙+𝟑
𝟐𝒙𝟑+𝟏
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙𝟐(𝟏−
𝟏
𝒙
+
𝟑
𝒙𝟐)
𝒙𝟐(𝟐𝒙+
𝟏
𝒙𝟐)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏−
𝟏
𝒙
+
𝟑
𝒙𝟐
𝟐𝒙+
𝟏
𝒙𝟐
. 
Então, usamos a propriedade de limites para separar cada um dos termos 
e analisá-los separadamente. Assim, 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏−
𝟏
𝒙
+
𝟑
𝒙𝟐
𝟐𝒙+
𝟏
𝒙𝟐
=
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏− 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙
+𝟑. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝟐
𝟐 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙+ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝟐
. 
Nesse caso, evidenciamos que existem alguns limites cujos resultados 
tendem a zero. Assim, escrevemos: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏− 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙
+𝟑. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝟐
𝟐 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙+ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝟐
=
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏
𝟐 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙
=
𝟏
𝟐. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙
. 
Nessa passagem, observamos que 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏 = 𝟏, visto que se trata da função 
constante que mantém esse comportamento quando 𝒙 → ∞. Por fim, verificamos 
que 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙𝟐−𝒙+𝟑
𝟐𝒙𝟑+𝟏
=
𝟏
𝟐. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙
= 𝟎. 
Pelo mesmo raciocínio utilizado para mostrar que 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏/𝒙 = 𝟎, alguém 
poderia decidir colocar 𝒙𝟑 em evidência, em um primeiro momento. Nesse caso, 
chegaria a 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑
𝟐𝒙𝟑 + 𝟏
=
𝒙𝟑 (𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏
𝒙 − 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝟐 + 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟑
𝒙𝟑)
𝒙𝟑 (𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟐 + 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝟑)
= 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙 − 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝟐 + 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟑
𝒙𝟑
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟐 + 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏
𝒙𝟑
=
𝟎
𝟐
= 𝟎. 
Ou seja, chegaria ao mesmo resultado. O Gráfico 3 confirma esse 
resultado. 
 
 
 
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Gráfico 3 – Função 𝒚 =
𝒙𝟐−𝒙+𝟑
𝟐𝒙𝟑+𝟏
 
 
Vejamos um segundo exemplo, em que estamos interessados em 
determinar: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟑𝒙𝟐+𝟖𝒙−𝟒
𝟐𝒙𝟐+𝟒𝒙−𝟓
. 
Assim, escolhemos colocar 𝒙𝟐 em evidência, obtendo: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙𝟐(𝟑+
𝟖
𝒙
−
𝟒
𝒙𝟐)
𝒙𝟐(𝟐+
𝟒
𝒙
−
𝟓
𝒙𝟐)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟑+
𝟖
𝒙
−
𝟒
𝒙𝟐
𝟐+
𝟒
𝒙
−
𝟓
𝒙𝟐
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟑
𝟐
=
𝟑
𝟐
. 
Esse segundo caso mostra com mais facilidade a assíntota horizontal, 
nesse caso, 𝒚 = 𝟑/𝟐. Veja que isso pode ser observado no Gráfico 4. 
Gráfico 4 – Função 𝒚 =
𝟑𝒙𝟐+𝟖𝒙−𝟒
𝟐𝒙𝟐+𝟒𝒙−𝟓
, além da assíntota 𝒚 = 𝟑/𝟐 
 
Em um terceiro caso, podemos estar interessados em investigar o que 
ocorre quando 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝟐𝒙𝟑−𝟑𝒙𝟐+𝟏
𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟒
. 
Então, colocamos 𝒙𝟐 em evidência, obtendo: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝟐𝒙𝟑−𝟑𝒙𝟐+𝟏
𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟒
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝒙𝟐(𝒙−𝟑+
𝟏
𝒙𝟐)
𝒙𝟐(𝟏+
𝟐
𝒙
+
𝟒
𝒙𝟐)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝒙−𝟑
𝟏
= −∞, 
 
 
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o que indica que existem funções que divergem quando 𝒙 → −∞, isto é, que 
crescem indefinidamente. Isso é confirmado no Gráfico 5. 
Gráfico 5 – Função y = (2x^3-3x^2+1)/(x^2+2x+4) 
 
TEMA 4 – ANÁLISE DE UM CASO APLICADO: COMO O ESTUDO DE 
FUNÇÕES EM x → ∞ PODE SER UTILIZADO PARA CONCLUIR O CENÁRIO DE 
CASOS REAIS? 
Considere uma função custo que descreve o custo da produção de uma 
determinada quantidade de livros. Então, suponha que 𝒙 se refere à quantidade 
de livros e 𝑪(𝒙) ao seu custo em reais, de forma que relacionamos 𝒙 a 𝑪 com 
base em 𝑪(𝒙). Alguém poderia estar interessado em investigar o que ocorre na 
produção de uma grandequantidade de livros. Mesmo sendo inviável produzir 
infinitos livros, vejamos o que essa análise nos diz. Então, suponha que o modelo 
é dado por: 
𝑪(𝒙) = 𝟏𝟎𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎. 
Note que podemos separar essa função em duas partes: a primeira refere-
se ao custo variável, visto que ele varia à medida que você escolhe produzir mais 
livros. Isso porque haverá, com essa decisão, gastos crescentes de matéria-
prima, mão de obra e tantos outros fatores. A segunda parte refere-se ao custo 
fixo, visto que ele existe mesmo quando se decide produzir livro nenhum. Isso 
porque há um custo de aluguel, de contratos de maquinários e tantos outros 
fatores que devem ser pagos mesmo sem produção nenhuma. É fácil observar 
que: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝑪(𝒙) = ∞. 
 
 
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Isso mostra que, quando se decide produzir infinitos livros, não se terá 
condições de pagar por tal coisa. Entretanto, vejamos o que ocorre com o custo 
médio quando 𝒙 → ∞. O custo médio é dado por: 
�̅�(𝒙) =
𝑪(𝒙)
𝒙
, 
o que indica quanto custa produzir cada um dos livros para um determinado nível 
de produção. Assim, para 𝑪(𝒙) dado, podemos chegar a 
�̅�(𝒙) =
𝟏𝟎𝟎𝒙+𝟐𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝒙
= 𝟏𝟎𝟎 +
𝟐𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝒙
. 
Agora, vejamos o que ocorre com o custo médio quando 𝒙 cresce 
indefinidamente. Nesse caso, é fácil observar que 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
�̅�(𝒙) = 𝟏𝟎𝟎. 
o que indica para nós que, à medida que produzimos mais livros, o custo médio, 
isto é, o custo por livro se aproxima do custo variável. De forma equivalente, 
observarmos que o custo fixo é diluído ao longo de cada um dos livros, de forma 
que, para 𝒙 → ∞, tal custo é irrelevante para a produção. 
TEMA 5 – CONTINUIDADE: COMO CONSTRUIR O CONCEITO DE 
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO? 
Vejamos o conceito de continuidade de função. De forma intuitiva, 
verificamos que existe continuidade em diversos tipos de fenômenos. Por 
exemplo, quando soltamos um objeto em queda livre do quinto andar de um 
prédio, não podemos imaginar que ele tenha chegado ao térreo sem passar no 
terceiro ou no quarto andar. Sobre esse comportamento de uma função, dizemos 
que ela é contínua. Mas, para realizarmos a definição corretamente, vejamos o 
que ocorre quando a função não é contínua em um ponto, isto é, que é 
descontínua. Por exemplo, temos o Gráfico 6. Nele, traçamos a função 𝒚 = 𝒕𝒈(𝒙) 
e uma assíntota vertical 𝒙 = 𝝅/𝟐. Tal função não é contínua, visto que, quando 
𝒙 → 𝝅/𝟐 pela esquerda, 𝒕𝒈(𝒙) → ∞; já quando 𝒙 → 𝝅/𝟐 pela direita, 𝒕𝒈(𝒙) → ∞. 
Então, observamos que uma condição necessária, mas não suficiente, para que 
a função seja contínua é que deve existir limite de função no ponto. 
 
 
 
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Gráfico 6 – Função 𝒚 = 𝒕𝒈(𝒙), além da assíntota vertical 𝒙 = 𝝅/𝟐 
 
 
Então, vejamos o caso da função apresentada no Gráfico 7. Nela, 
apresentamos a função vista anteriormente, representando a velocidade de um 
trem. Note que, para o caso em que 𝒚 =
𝒙𝟐−𝟒
𝒙−𝟐
, a função apresenta limite para 𝒙 →
𝟐, cujo resultado é 4. Entretanto, a função não está definida no ponto. Assim, 
verificamos a necessidade de existir o valor da função no ponto como a segunda 
condição necessária, mas ainda não suficiente para determinar se a função é 
contínua no ponto. 
Gráfico 7 – Função 𝒚 =
𝒙𝟐−𝟒
𝒙−𝟐
 
 
No último caso, apresentamos a função 𝒚 = 𝒙𝟐, quando 𝒙 ≠ 𝟎; e 𝒚 = 𝟏 
quando 𝒙 = 𝟎, no Gráfico 8. Essa função separada por partes é descontínua, 
mesmo existindo valor da função em 𝒙 = 𝟎 e existindo limite da função quando 
𝒙 → 𝟎. 
 
 
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Gráfico 8 – Função y = x2, quando x ≠ 0; e y = 1, quando x = 0 
 
Assim, podemos escrever que uma função é contínua, em um ponto 𝒂, 
quando atender às seguintes condições: 
a. existe 𝒇(𝒂); 
b. existe 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙); 
c. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂). 
Ressaltamos que existe diferença entre ambos os conceitos. Também 
definimos que uma função é dita contínua (ou inteiramente contínua) quando ela 
é contínua em todos os pontos. Por exemplo, vamos considerar a função definida 
por 
𝒇(𝒙) = {
𝒄𝒙𝟐 + 𝟐𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 < 𝟐
𝒙𝟑 − 𝒄𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 ≥ 𝟐
. 
Será que existe algum valor de 𝒄 ∈ ℝ de forma que 𝒇(𝒙) seja contínua em 
𝒙 = 𝟐? Primeiro, encontramos 𝒇(𝟐). Observamos que 
𝒇(𝟐) = 𝟐𝟑 − 𝟐𝒄 = 𝟖 − 𝟐𝒄. 
Na sequência, devemos verificar 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒇(𝒙). 
Como a função é separada por partes, devemos verificar os limites 
laterais. No caso esquerdo, verificamos que: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒄𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟒𝒄 + 𝟒. 
No caso direito, que: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐+
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙𝟑 − 𝒄𝒙 = 𝟖 − 𝟐𝒄. 
Para existir limite, devemos ter: 
𝟒𝒄 + 𝟒 = 𝟖 − 𝟐𝒄; 
𝟔𝒄 = 𝟒; 
 
 
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𝒄 = 𝟐/𝟑. 
Assim, para o caso em que 𝒄 = 𝟐/𝟑, 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒇(𝒙) = 𝟐𝟎/𝟑. Para mostrar que 
a função é contínua, devemos garantir que 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝟐); 
𝟐𝟎
𝟑
= 𝟖 − 𝟐𝒄. 
Como essa equação é uma identidade, garantimos a continuidade da 
função. 
NA PRÁTICA 
Calcule os seguintes limites: 
a. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏
𝟐𝒙+𝟑
; 
b. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏−𝒙−𝒙𝟐
𝟐𝒙𝟐−𝟕
; 
c. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝟑+𝟓𝒙
𝟐𝒙𝟑−𝒙𝟐+𝟒
; 
d. 𝒍𝒊𝒎
𝒖→∞
𝟒𝒖𝟐+𝟓
(𝒖𝟐−𝟐)(𝟐𝒖𝟐−𝟏)
; 
e. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
√𝟗𝒙𝟔−𝒙
𝒙𝟑+𝟏
; 
f. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
(√𝟗𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟑𝒙); 
g. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
(√𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 − √𝒙𝟐 + 𝒃𝒙); 
h. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
√𝒙; 
i. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝒙 − √𝒙); 
j. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
(𝒙𝟒 + 𝒙𝟓); 
k. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙+𝒙𝟑+𝒙𝟓
𝟏−𝒙𝟐+𝒙𝟒. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, aproveitamos para reforçar um pouco mais o tipo de operação 
em que estamos interessados quando estamos calculando o limite de funções. 
Com isso, já temos ferramentas disponíveis para determinar o que seria a 
derivada de uma função.