Seja o campo vetorial \(\overrightarrow{F}(x,y,z)=2yz\hat{x}+(x^2z-y)\hat{y}+x^2\hat{z}\). Determine o valor do produto entre o divergente do campo...

Para encontrar o valor do produto entre o divergente do campo vetorial \(\overrightarrow{F}\) pelo seu rotacional para o ponto (1,0,2), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcule o divergente de \(\overrightarrow{F}\): O divergente de um campo vetorial \(\overrightarrow{F} = P\hat{i} + Q\hat{j} + R\hat{k}\) é dado por \(\nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\). Dado \(\overrightarrow{F}(x,y,z) = 2yz\hat{i} + (x^2z - y)\hat{j} + x^2\hat{k}\), podemos calcular o divergente: \(\nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{\partial}{\partial x}(2yz) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2z - y) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2)\). Após calcular as derivadas parciais, obtemos o divergente de \(\overrightarrow{F}\). 2. Calcule o rotacional de \(\overrightarrow{F}\): O rotacional de um campo vetorial \(\overrightarrow{F}\) é dado por \(\nabla \times \overrightarrow{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\). Calculamos as derivadas parciais e o determinante para encontrar o rotacional de \(\overrightarrow{F}\). 3. Após encontrar o divergente e o rotacional de \(\overrightarrow{F}\), substitua as coordenadas do ponto (1,0,2) e calcule o produto entre eles para cada uma das opções fornecidas. Espero que esses passos ajudem você a resolver o problema!