9. Seja T : R2 → R2 uma reflexão ortogonal em relação a uma reta. Sabendo-se que v = (1, 2) é um autovetor associado ao autovalor 1, T (x, y) é dada por:
a) T (x, y) = (-3x+ 4y, 4x+ 3y)
b) T (x, y) = (x^5 + 2y/5, -2x^5 + y/5)
c) T (x, y) = (-3x^5 + 4y/5, 4x/5 + 3y/5)
d) T (x, y) = (x, -y)
e) Não sei.
a) T (x, y) = (-3x+ 4y, 4x+ 3y)
b) T (x, y) = (x^5 + 2y/5, -2x^5 + y/5)
c) T (x, y) = (-3x^5 + 4y/5, 4x/5 + 3y/5)
d) T (x, y) = (x, -y)
e) Não sei.
Respostas
Ed 
ano passado
Para encontrar a expressão para a transformação linear \( T(x, y) \) que é uma reflexão ortogonal em relação a uma reta, sabendo que \( v = (1, 2) \) é um autovetor associado ao autovalor 1, podemos usar a fórmula \( T(v) = \lambda v \), onde \( \lambda \) é o autovalor associado a \( v \). Dado que \( v = (1, 2) \) e \( \lambda = 1 \), temos: \[ T(1, 2) = 1 \cdot (1, 2) = (1, 2) \] Uma reflexão ortogonal em relação a uma reta mantém o comprimento dos vetores inalterados. Isso significa que a transformação linear \( T \) deve ser uma rotação de 180 graus, o que resulta em: \[ T(x, y) = (-x, -y) \] Portanto, a alternativa correta é: d) \( T(x, y) = (x, -y) \)
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3. Os autovalores da matriz
[-3 -2
-2 -3] são:
a) -1,-5
b) -1, 6
c) -5, 6
d) -6,-5
e) Não sei.
4. Seja A uma matriz quadrada. Considere as afirmativas abaixo:
(I) Se a soma dos elementos de cada linha de A é igual a uma constante k, então k é um autovalor de A
(II) Se a soma dos elementos de cada coluna de A é igual a uma constante k, então k é um autovalor de A
a) Ambas são falsas
b) Ambas são verdadeiras
c) I é falsa e II é verdadeira
d) I é verdadeira e II é falsa
e) Não sei.
5. Seja A uma matriz quadrada, n × n. Considere as afirmativas abaixo:
(I) Se A é injetiva, então o sistema Ax = b sempre tem mais de uma solução
(II) Se A é sobrejetiva, então o sistema Ax = b sempre tem solução única.
a) Ambas são falsas
b) I é verdadeira e II é falsa
c) I é falsa e II é verdadeira
d) Ambas são verdadeiras
e) Não sei.
10. Seja A uma matriz m × n. Considere as afirmativas abaixo:
(I) A pode ser sobrejetiva somente se n ≥ m
(II) A pode ser injetiva somente se m ≥ n
a) Ambas são falsas
b) I é verdadeira e II é falsa
c) I é falsa e II é verdadeira
d) Ambas são verdadeiras
e) Não sei.
11. Seja A, 3×3 e v, não nulo, tal que A*v = 0. Considere as afirmativas abaixo:
(I) Existe w, não nulo, tal que AT*w = 0
(II) Existem {v1, v2, v3} tal que {AT*v1, AT*v2, AT*v3} é um conjunto LI
a) I é falsa e II é verdadeira
b) I é verdadeira e II é falsa
c) Ambas são falsas
d) Ambas são verdadeiras
e) Não sei.
12. Seja A uma matriz 2x2 e v um vetor não-nulo qualquer. Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa CORRETA:
I - Se o traço de A é menor que zero, então lim k→∞ Ak*v sempre vai existir
II - Se o determinante de A é maior que zero, então lim k→∞ Ak*v sempre vai existir
a) Ambas são falsas
b) Ambas são verdadeiras
c) I é verdadeira e II é falsa
d) I é falsa e II é verdadeira
e) Não sei.
14. A matriz A = [5 0 1
0 2 0
1 0 5] possui os autovalores 2, 4, 6. Os autovetores de A associados ao seu maior autovalor são da forma:
a) t(0, 1, 0), t ≠ 0.
b) t(1, 0, -1), t ≠ 0.
c) t(0, 2, 0), t ≠ 0.
d) t(2, 0, 2), t ≠ 0.
e) Não sei.
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