Dada a função a seguir: f(x) = 18x + 3x2 − 4x3. Encontre seus pontos críticos, classifique-os e assinale a alternativa correta: x = −1 é um pont...

Vamos encontrar os pontos críticos da função \( f(x) = 18x + 3x^2 - 4x^3 \) e classificá-los. Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero: \( f'(x) = 18 + 6x - 12x^2 \) Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos a equação: \( 18 + 6x - 12x^2 = 0 \) \( -12x^2 + 6x + 18 = 0 \) \( -2x^2 + x + 3 = 0 \) Resolvendo a equação quadrática, encontramos os valores de x: \( x = -1 \) e \( x = 3/2 \) Agora, para classificar os pontos críticos, podemos usar o teste da derivada segunda. Calculando a derivada segunda da função: \( f''(x) = -24x + 6 \) Avaliando a concavidade nos pontos críticos: Para \( x = -1 \): \( f''(-1) = -24(-1) + 6 = 30 \) - Ponto de mínimo relativo Para \( x = 3/2 \): \( f''(3/2) = -24(3/2) + 6 = -30 \) - Ponto de máximo relativo Portanto, a alternativa correta é: "x = −1 é um ponto de mínimo relativo, e x=3/2 é um ponto de máximo relativo."