Uma empresa deve pagar dois títulos: um de 7.200,00 R$ para um mês e outro de 9.600,00 R$ para três meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um único título para cinco meses. Calcular o valor nominal do novo título, sabendo-se que foi adotada na operação o critério do desconto comercial composto a uma taxa de % 30 ao ano, capitalizada mensalmente.

Question

Uma empresa deve pagar dois títulos: um de 7.200,00 R$ para um mês e outro de 9.600,00 R$ para três meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no v...

Ed · Answer

Para calcular o valor nominal do novo título, precisamos primeiro entender o desconto comercial composto. Vamos seguir os passos:

1. **Calcular o valor presente dos títulos existentes**:
   - Título 1: R$ 7.200,00 para 1 mês.
   - Título 2: R$ 9.600,00 para 3 meses.

2. **Taxa de desconto mensal**:
   - A taxa anual é de 30%, então a taxa mensal é: 
     $$
     i = \frac{30\%}{12} = 2,5\% = 0,025
     $$

3. **Cálculo do valor presente do Título 1**:
   $$
   VP_1 = \frac{7.200}{(1 + 0,025)^1} = \frac{7.200}{1,025} \approx 7.024,39
   $$

4. **Cálculo do valor presente do Título 2**:
   $$
   VP_2 = \frac{9.600}{(1 + 0,025)^3} = \frac{9.600}{(1,025)^3} \approx \frac{9.600}{1,077} \approx 8.903,73
   $$

5. **Valor presente total**:
   $$
   VP_{total} = VP_1 + VP_2 \approx 7.024,39 + 8.903,73 \approx 15.928,12
   $$

6. **Cálculo do valor nominal do novo título**:
   - O novo título será resgatado em 5 meses, então precisamos calcular o valor nominal (VN) que, ao ser descontado, resultará no valor presente total:
   $$
   VP = \frac{VN}{(1 + 0,025)^5}
   $$
   $$
   15.928,12 = \frac{VN}{(1,025)^5} \approx \frac{VN}{1,1314}
   $$
   $$
   VN \approx 15.928,12 \times 1,1314 \approx 18.032,00
   $$

Portanto, o valor nominal do novo título deve ser aproximadamente **R$ 18.032,00**.

Ed · Answer

Para calcular o valor nominal do novo título, podemos usar a fórmula do desconto comercial composto:

$V = \frac{N}{(1 - d)^n}$

Onde:
- $V$ é o valor nominal do novo título que queremos encontrar.
- $N$ é a soma dos valores dos títulos originais, ou seja, $7.200,00 + 9.600,00 = 16.800,00$.
- $d$ é a taxa de desconto, que é de 30% ao ano, capitalizada mensalmente, então a taxa mensal é $30%/12 = 2,5%$.
- $n$ é o prazo do novo título em meses, que é 5 meses.

Substituindo na fórmula, temos:

$V = \frac{16.800,00}{(1 - 0,025)^5}$

Calculando o valor do novo título, temos:

$V = \frac{16.800,00}{(0,975)^5} \approx 16.800,00 / 0,8784 \approx 19.126,71 R$$

Portanto, o valor nominal do novo título seria aproximadamente R$ 19.126,71.

Finanças Matemáticas

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