Questão 7. Qual é a função que possui valores máximos e mínimos absolutos de f(x) = x - 2arctg x em [0,4]? a) f(x) = x - 2arctg x b) f(x) = sen x ...

Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de uma função em um intervalo fechado, precisamos analisar os valores críticos no interior do intervalo e nos pontos extremos. A função \( f(x) = x - 2\arctan(x) \) em [0,4] possui valores máximos e mínimos absolutos nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo. Para encontrar os pontos críticos, derivamos a função e igualamos a zero: \( f'(x) = 1 - \frac{2}{1+x^2} = 0 \) Resolvendo a equação acima, obtemos \( x = \pm \sqrt{3} \). No entanto, apenas \( x = \sqrt{3} \) está dentro do intervalo [0,4]. Além disso, precisamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo, ou seja, em x = 0 e x = 4. Agora, para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, podemos usar a segunda derivada ou testar os valores da função nos pontos críticos e extremos. Portanto, a alternativa correta é: a) \( f(x) = x - 2\arctan(x) \)