Uma hipérbole tem um de seus vértices em a = (3,0) e as equações de suas assíntotas sao 2x - 3y = 0 e 2x + 3y = 0. Determine a equação da hipérbole

Para determinar a equação da hipérbole com um vértice em a = (3,0) e as equações das assíntotas dadas, podemos usar a fórmula geral de uma hipérbole. A equação geral de uma hipérbole com centro (h, k), vértices (h ± a, k) e assíntotas da forma y = mx + n é: \[ \frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} - \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1 \] Dado que um dos vértices é a = (3,0), podemos concluir que h = 3. Além disso, as equações das assíntotas são 2x - 3y = 0 e 2x + 3y = 0, o que nos dá m = 3/2 e -3/2. Substituindo os valores conhecidos na equação geral da hipérbole, obtemos: \[ \frac{{(x-3)^2}}{{a^2}} - \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1 \] Agora, podemos usar as informações das assíntotas para encontrar os valores de a e b. Substituindo y = mx nas equações das assíntotas, obtemos: Para a primeira assíntota (2x - 3y = 0): y = (2/3)x Substituindo na equação da hipérbole: \[ \frac{{(x-3)^2}}{{a^2}} - \frac{{(2/3)x^2}}{{b^2}} = 1 \] Para a segunda assíntota (2x + 3y = 0): y = -(2/3)x Substituindo na equação da hipérbole: \[ \frac{{(x-3)^2}}{{a^2}} - \frac{{(-2/3)x^2}}{{b^2}} = 1 \] Resolvendo esse sistema de equações, encontraremos os valores de a e b, e assim poderemos determinar a equação da hipérbole.