Dado os pontos A (0,1,-1) E B (1,2,-1) e os vetores u= (-2, -1, 1) v= (3,0,-1) e w= (-2,2,2), verificar se existem os números a1, a2 e a3 tais que ...

Para verificar se existem os números \( a_1 \), \( a_2 \) e \( a_3 \) tais que \( \vec{w} = a_1 \cdot \overrightarrow{AB} + a_2 \cdot \vec{u} + a_3 \cdot \vec{v} \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o vetor \( \overrightarrow{AB} \) que é dado por \( \overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} \). 2. Substituir os valores dados na equação \( \vec{w} = a_1 \cdot \overrightarrow{AB} + a_2 \cdot \vec{u} + a_3 \cdot \vec{v} \). 3. Igualar as componentes dos vetores para encontrar os valores de \( a_1 \), \( a_2 \) e \( a_3 \). Vamos calcular: 1. \( \overrightarrow{AB} = (1-0, 2-1, -1-(-1)) = (1, 1, 0) \). 2. Substituindo na equação, temos \( (-2, 2, 2) = a_1 \cdot (1, 1, 0) + a_2 \cdot (-2, -1, 1) + a_3 \cdot (3, 0, -1) \). 3. Igualando as componentes, obtemos o sistema de equações: - Para a componente x: \( -2 = a_1 - 2a_2 + 3a_3 \). - Para a componente y: \( 2 = a_1 - a_2 \). - Para a componente z: \( 2 = a_2 - a_3 \). Resolvendo esse sistema de equações, podemos encontrar os valores de \( a_1 \), \( a_2 \) e \( a_3 \) que satisfazem a equação dada.