Para resolver essa questão, vamos analisar cada parte separadamente. ### a) Probabilidade de acertar apenas 1 questão A probabilidade de acertar uma questão é \( \frac{1}{5} \) e a de errar é \( \frac{4}{5} \). Para acertar exatamente 1 questão em 3, usamos a fórmula da probabilidade binomial: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n = 3 \) (número total de questões) - \( k = 1 \) (número de acertos desejados) - \( p = \frac{1}{5} \) (probabilidade de acerto) Calculando: \[ P(X = 1) = \binom{3}{1} \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{4}{5}\right)^{3-1} \] \[ = 3 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 \] \[ = 3 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{16}{25} \] \[ = 3 \cdot \frac{16}{125} = \frac{48}{125} \] ### b) Probabilidade de ser aprovado (acertar 2 ou 3 questões) Para 2 acertos: \[ P(X = 2) = \binom{3}{2} \left(\frac{1}{5}\right)^2 \left(\frac{4}{5}\right)^{3-2} \] \[ = 3 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right) \] \[ = 3 \cdot \frac{1}{25} \cdot \frac{4}{5} = 3 \cdot \frac{4}{125} = \frac{12}{125} \] Para 3 acertos: \[ P(X = 3) = \binom{3}{3} \left(\frac{1}{5}\right)^3 \left(\frac{4}{5}\right)^{0} \] \[ = 1 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{1}{125} \] Total da probabilidade de ser aprovado: \[ P(\text{aprovado}) = P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{12}{125} + \frac{1}{125} = \frac{13}{125} \] ### c) Número esperado de questões certas, sabendo que ele foi aprovado Para calcular o número esperado de acertos, dado que ele foi aprovado, usamos a fórmula da expectativa condicional. O número esperado de acertos em uma distribuição binomial é dado por: \[ E(X) = n \cdot p \] Como ele precisa acertar pelo menos 2 questões para ser aprovado, consideramos as probabilidades de acertar 2 e 3 questões: \[ E(X | \text{aprovado}) = \frac{2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)}{P(\text{aprovado})} \] Substituindo os valores: \[ E(X | \text{aprovado}) = \frac{2 \cdot \frac{12}{125} + 3 \cdot \frac{1}{125}}{\frac{13}{125}} = \frac{\frac{24}{125} + \frac{3}{125}}{\frac{13}{125}} = \frac{\frac{27}{125}}{\frac{13}{125}} = \frac{27}{13} \approx 2,08 \] ### Resumo das respostas: a) A probabilidade de acertar apenas 1 questão é \( \frac{48}{125} \). b) A probabilidade de ser aprovado é \( \frac{13}{125} \). c) O número esperado de questões certas, sabendo que ele foi aprovado, é aproximadamente \( 2,08 \).