Para calcular o volume de um cone gerado a partir de um setor circular, precisamos primeiro entender algumas informações sobre o cone e o setor. 1. Raio do setor: 12 cm. 2. Ângulo central do setor: 120 graus. O volume \( V \) de um cone é dado pela fórmula: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] onde \( r \) é o raio da base do cone e \( h \) é a altura do cone. Primeiro, precisamos encontrar o raio da base do cone. O raio da base do cone é igual ao comprimento do arco do setor circular dividido pelo ângulo central em radianos. O comprimento do arco \( L \) é dado por: \[ L = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360} \] onde \( \theta \) é o ângulo central em graus. Substituindo os valores: \[ L = 2\pi \cdot 12 \cdot \frac{120}{360} = 2\pi \cdot 12 \cdot \frac{1}{3} = 8\pi \text{ cm} \] Esse comprimento do arco se torna a circunferência da base do cone: \[ C = 2\pi r \] Portanto, igualando: \[ 8\pi = 2\pi r \implies r = 4 \text{ cm} \] Agora, precisamos encontrar a altura \( h \) do cone. A altura pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, considerando que a altura, o raio da base e a geratriz (raio do setor) formam um triângulo retângulo: \[ h = \sqrt{(12^2) - (4^2)} = \sqrt{144 - 16} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \text{ cm} \] Agora, substituímos \( r \) e \( h \) na fórmula do volume: \[ V = \frac{1}{3} \pi (4^2)(8\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi (16)(8\sqrt{2}) = \frac{128\sqrt{2}}{3} \pi \text{ cm}^3 \] No entanto, as opções apresentadas não incluem essa resposta. Vamos verificar as opções novamente. As opções são: a) π64√3 cm³ b) π64√3 cm³ c) π64√3 cm³ d) π128√3 cm³ Parece que houve um erro na interpretação do problema ou nas opções. Nenhuma das opções corresponde ao volume calculado. Você pode verificar se os dados estão corretos ou se há mais informações?