3.2) Considere o experimento aleatório que consiste no lançamento de um dado não viciado. Sejam os seguintes eventos: A= {ocorre face par} B= {ocorre face ímpar} C= {ocorre face menor que 5} D= {ocorre face maior ou igual a 4} Determine o espaço amostral e calcule as seguintes probabilidades:

a) P(A), P(B), P(C) e P(D).
b) P (A ∩ B), P (A ∩ C), P (A ∩ D), P (B ∩ C), P (B ∩ D) e P (C ∩ D).
c) P (A U B), P (A U C), P (A U D), P (B U C), P (B U D) e P (C U D).
d) P(A/B). Os eventos A e B são independentes?
e) P(B/C). Os eventos B e C são independentes?

Question

3.2) Considere o experimento aleatório que consiste no lançamento de um dado não viciado. Sejam os seguintes eventos: A= {ocorre face par} B= {ocor...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos primeiro definir o espaço amostral e os eventos mencionados.

O espaço amostral $ S $ para o lançamento de um dado não viciado é:
$$ S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $$

Agora, vamos definir os eventos:
- $ A = \{2, 4, 6\} $ (faces pares)
- $ B = \{1, 3, 5\} $ (faces ímpares)
- $ C = \{1, 2, 3, 4\} $ (faces menores que 5)
- $ D = \{4, 5, 6\} $ (faces maiores ou iguais a 4)

### a) Cálculo das probabilidades $ P(A), P(B), P(C) $ e $ P(D) $

- $ P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $
- $ P(B) = \frac{|B|}{|S|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $
- $ P(C) = \frac{|C|}{|S|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
- $ P(D) = \frac{|D|}{|S|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

### b) Cálculo das interseções

- $ A \cap B = \emptyset $ (não há elementos em comum) → $ P(A \cap B) = 0 $
- $ A \cap C = \{2, 4\} $ → $ P(A \cap C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
- $ A \cap D = \{4, 6\} $ → $ P(A \cap D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
- $ B \cap C = \{1, 3\} $ → $ P(B \cap C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
- $ B \cap D = \emptyset $ → $ P(B \cap D) = 0 $
- $ C \cap D = \{4\} $ → $ P(C \cap D) = \frac{1}{6} $

### c) Cálculo das uniões

- $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 = 1 $
- $ P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A \cap C) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} $
- $ P(A \cup D) = P(A) + P(D) - P(A \cap D) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} $
- $ P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} $
- $ P(B \cup D) = P(B) + P(D) - P(B \cap D) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 = 1 $
- $ P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $

### d) Cálculo de $ P(A|B) $ e independência

Para calcular $ P(A|B) $:
$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{\frac{1}{2}} = 0 $$

Os eventos $ A $ e $ B $ não são independentes, pois $ P(A|B) \neq P(A) $.

### e) Cálculo de $ P(B|C) $ e independência

Para calcular $ P(B|C) $:
$$ P(B|C) = \frac{P(B \cap C)}{P(C)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} $$

Os eventos $ B $ e $ C $ são independentes, pois $ P(B|C) = P(B) $.

Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!

Ed · Answer

Para resolver esse problema, primeiro precisamos determinar o espaço amostral do experimento, que é o conjunto de todos os resultados possíveis. No caso do lançamento de um dado não viciado, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

a) Vamos calcular as probabilidades solicitadas:
   - P(A) = Probabilidade de ocorrer face par = 3/6 = 1/2
   - P(B) = Probabilidade de ocorrer face ímpar = 3/6 = 1/2
   - P(C) = Probabilidade de ocorrer face menor que 5 = 4/6 = 2/3
   - P(D) = Probabilidade de ocorrer face maior ou igual a 4 = 3/6 = 1/2

b) Agora, vamos calcular as probabilidades de interseção:
   - P(A ∩ B) = Probabilidade de ocorrer face par e ímpar (impossível) = 0
   - P(A ∩ C) = Probabilidade de ocorrer face par e menor que 5 = 2/6 = 1/3
   - P(A ∩ D) = Probabilidade de ocorrer face par e maior ou igual a 4 = 2/6 = 1/3
   - P(B ∩ C) = Probabilidade de ocorrer face ímpar e menor que 5 = 2/6 = 1/3
   - P(B ∩ D) = Probabilidade de ocorrer face ímpar e maior ou igual a 4 = 1/6
   - P(C ∩ D) = Probabilidade de ocorrer face menor que 5 e maior ou igual a 4 = 2/6 = 1/3

c) Agora, vamos calcular as probabilidades de união:
   - P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 - 0 = 1
   - P(A U C) = P(A) + P(C) - P(A ∩ C) = 1/2 + 2/3 - 1/3 = 5/6
   - P(A U D) = P(A) + P(D) - P(A ∩ D) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3
   - P(B U C) = P(B) + P(C) - P(B ∩ C) = 1/2 + 2/3 - 1/3 = 1
   - P(B U D) = P(B) + P(D) - P(B ∩ D) = 1/2 + 1/2 - 1/6 = 5/6
   - P(C U D) = P(C) + P(D) - P(C ∩ D) = 2/3 + 1/2 - 1/3 = 5/6

d) Para calcular P(A/B) e verificar se os eventos A e B são independentes, precisamos verificar se P(A/B) = P(A). Se P(A/B) = P(A), então os eventos são independentes. Vamos calcular:
   - P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0 / (1/2) = 0
   Como P(A/B) ≠ P(A), os eventos A e B não são independentes.

e) Para calcular P(B/C) e verificar se os eventos B e C são independentes, precisamos verificar se P(B/C) = P(B). Se P(B/C) = P(B), então os eventos são independentes. Vamos calcular:
   - P(B/C) = P(B ∩ C) / P(C) = (1/3) / (2/3) = 1/2
   Como P(B/C) = P(B), os eventos B e C são independentes.

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