12) Considere X ∼ U(5, 10), calcule: a) E(X) e Var(X) b) P(X < 7) c) P(X > 8, 5) d) P(8 < X < 9)

Vamos lá: a) Para uma variável aleatória X distribuída uniformemente entre 5 e 10, a média (E(X)) é dada por (a + b) / 2, onde a = 5 e b = 10. Portanto, E(X) = (5 + 10) / 2 = 7,5. A variância (Var(X)) para uma distribuição uniforme é calculada por (b - a)^2 / 12, onde a = 5 e b = 10. Assim, Var(X) = (10 - 5)^2 / 12 = 25 / 12. b) Para calcular P(X < 7), precisamos encontrar a área sob a curva da distribuição uniforme entre 5 e 7. Como a distribuição é uniforme, a probabilidade é a razão do comprimento do intervalo 5-7 para o comprimento total do intervalo 5-10. Portanto, P(X < 7) = (7 - 5) / (10 - 5) = 2 / 5 = 0,4. c) Para calcular P(X > 8,5), como a distribuição é uniforme, a probabilidade é a razão do comprimento do intervalo 8,5-10 para o comprimento total do intervalo 5-10. Portanto, P(X > 8,5) = (10 - 8,5) / (10 - 5) = 1,5 / 5 = 0,3. d) Para calcular P(8 < X < 9), a probabilidade é a razão do comprimento do intervalo 8-9 para o comprimento total do intervalo 5-10. Portanto, P(8 < X < 9) = (9 - 8) / (10 - 5) = 1 / 5 = 0,2.