Seja a parábola de equação 8Yº + 32y = 2x + 8. A reta x — 4y + k = 0, k real, é tangente a esta parábola. Determine o valor de k. A 15 B 14 c 13...

Para determinar o valor de \( k \), precisamos igualar as derivadas da parábola e da reta, já que a reta é tangente à parábola. A derivada da parábola \( 8y^2 + 32y = 2x + 8 \) em relação a \( x \) é \( 16y + 32y' = 2 \). A derivada da reta \( x - 4y + k = 0 \) em relação a \( x \) é \( 1 - 4y' = 0 \). Substituindo \( y' = \frac{1}{4} \) na derivada da parábola, temos \( 16y + 32(\frac{1}{4}) = 2 \). Resolvendo, obtemos \( 16y + 8 = 2 \), \( 16y = -6 \), \( y = -\frac{3}{8} \). Substituindo \( y = -\frac{3}{8} \) na equação da reta, temos \( x - 4(-\frac{3}{8}) + k = 0 \), \( x + \frac{3}{2} + k = 0 \), \( x = -\frac{3}{2} - k \). Como a reta é tangente à parábola, podemos igualar as coordenadas \( x \) e \( y \) do ponto de tangência na reta e na parábola. Substituindo \( y = -\frac{3}{8} \) na equação da parábola, temos \( 8(-\frac{3}{8})^2 + 32(-\frac{3}{8}) = 2(-\frac{3}{2} - k) + 8 \), \( -6 - 12 = -3 - 2k + 8 \), \( -18 = -2k + 5 \), \( -2k = -23 \), \( k = \frac{23}{2} \), \( k = 11,5 \). Portanto, o valor de \( k \) é 11,5. A alternativa correta é A) 15.