ante das operações elementares, para se levar em consideração esta coluna de zeros que não vimos escrevendo. Teorema: Se ???? = (????????????)????????????, é tal...

ante das operações elementares, para se levar em consideração esta coluna de zeros que não vimos escrevendo. Teorema: Se ???? = (????????????)????????????, é tal que???? < ????, então o sistema homogêneo ???????? = �̅�, tem solução diferente da solução trivial, ou seja, todo sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas tem infinitas soluções. Como o sistema tem menos equações do que incógnitas ???? < ????, o número de linhas não nulas r da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema também é tal que ???? < ????. Assim, temos pelo menos ???? − ???? incógnitas livres, que podem assumir qualquer valor. Logo, o sistema admite solução não trivial. Ex.: O conjunto solução de um sistema linear homogêneo satisfaz duas propriedades importantes: 1. Se X e Y são soluções do sistema homogêneo ???????? = �̅�, então ???????? = �̅� e ???????? = �̅� , e portanto ???? + ???? também é solução pois,????(???? = ????) = ???????? + ???????? = �̅� + �̅� = �̅�; 2. Se X é solução do sistema homogêneo ???????? = �̅�, então ∝ ???? também o é, pois ????(∝ ????) =∝ ???????? =∝ �̅� = �̅�. Estudo dirigido I 31 Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. Portanto, se X e Y são soluções de um sistema homogêneo, então X + Y e ∝ ???? também o são. Estas propriedades não são válidas para sistemas lineares em geral. Por exemplo, considere o sistema linear ???????? = ????, onde ????[????] ???? ???? = [????]. A solução deste sistema é ???? = [????]. Mas, ???? + ???? = ???? ???? = ????, não é solução do sistema. Classificação de um sistema linear Os sistemas lineares podem ser classificados conforme o número de soluções possíveis. Lembrando que a solução das equações é encontrada pela substituição das variáveis por valores. Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0). Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas, o que acontece quando o determinante é igual a zero (D = 0). Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução, o que acontece quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais determinantes secundários são diferentes de zero (D ≠ 0). As matrizes associadas a um sistema linear podem ser completas ou incompletas. São completas as matrizes que consideram os termos independentes das equações. Os sistemas lineares são classificados como normais quando o número de coeficientes é o mesmo que o número de incógnitas. Além disso, quando o determinante da matriz incompleta desse sistema não é igual a zero. Sistema de equações lineares utilizando escalonamento Para escalonar um sistema linear, resolvê-lo e depois classificá-lo, alguns procedimentos podem ser feitos: T1: um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema. Estudo dirigido I 32 Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. T2: um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo. T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2. Se no processo de escalonamento, obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, esta equação é suficiente para se afirmar que o sistema é impossível, isto é, tem S = ø. Se no processo de escalonamento, obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo independente igual a zero, esta equação poderá ser eliminada. E todos os termos de números reais são soluções, ou seja, sistema indeterminado. Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a) possível e determinado, se ???? = det ???? ≠ 0; caso em que a solução é única. Ex.: {???? − ???? + ???? = 3 2???? + ???? − ???? = 0 3???? − ???? + 2???? = 6 ???? = | 1 −1 1 2 1 −1 3 −1 2 | = 3 ≠ 0 Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. b) Se ???? = ???????????? = ???????????? = ???????????? = ⋯ = ???????????? = ????, para ???? = ????. Se ???? ≥ ????, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Ex.: {???? + 3???? + 2???? = 1 −2???? + ???? + ???? = −2 −???? + 4???? + 3???? = −1 ???? = ????,???????? = ????,???????? = ???? e ???????? = ???? Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. c) Se ???? = ???? ???? ∃ ???????????? ≠ ????, ???? ≤ ???? ≤ ????; caso em que o sistema não tem solução. Ex.: {???? + 2???? + ???? = 1 2???? + ???? − 3???? = 4 3???? + 3???? − 2???? = 0 ???? = | 1 2 1 2 1 −3 3 3 −2 | = 0 ???????? = | 1 2 1 4 1 −3 0 3 −2 | = 35 ≠ 0