ESTUDO DIRIGIDO ÁLGEBRA

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EDUCAÇÃO DE QUALIDADE INTERNACIONAL 
 
 
 
Engenharia 
 
 
 
Título: 
 
Disciplina: Álgebra Linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
Identificação 
 
Aluna: Fabiolla Mayara Silva Patriota Mat: 20109126014 
Professor: Bruno Dias 
Curso: Engenharia 
Linha temática: Álgebra linear 
Semestre(s) letivo(s): 2020/1 
 
 
 
 
 
 
 
 
FEV - 2020 
 
 Estudo dirigido I 2 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
➢ REPRESENTAÇÃO GENÉRICA 
Define-se matriz do tipo 𝒎 𝒙 𝒏 uma tabela com 𝒎.𝒏 elementos (números, 
polinômios, funções, etc.) dispostos em m linhas e com n coluna. 
Os números que compõem uma matriz são chamados elementos ou 
termos. Para escrever uma matriz, dispõem-se os elementos entre colchetes [], 
barras | |, ou parênteses (). 
Em uma matriz, cada elemento ocupa uma posição definida por 
determinada linha e determinada coluna, nessa ordem. 
Um elemento genérico da matriz pode ser representado pelo símbolo 𝒂𝒊𝒋, 
em que 𝒊 indica a linha que o elemento ocupa e 𝒋 indica a coluna. 
 
𝑨 = (𝒂𝒊𝒋) 𝒎 𝒙 𝒏 com 𝟏 ≤ 𝒊 ≤ 𝒎 e 𝟏 ≤ 𝒋 ≤ 𝒏, com 𝒊, 𝒋 ∈ ℕ 
 
(
 
 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎𝑛1
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎𝑛2
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎𝑛3
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 ⋯ 𝑎𝑚𝑛)
 
 
 
 
➢ TIPO DE MATRIZES 
 
• Matriz quadrada 
Para obtermos uma matriz quadrada, basta ter apena que 𝒎 = 𝒏 (que seu 
número de linhas seja igual ao número de colunas) sendo elas de ordem 2, 3 ou 
mais. 
Ex.: 
𝐴3𝑥3 = (
2 1 5
5 8 2
5 1 4
) 
 
 Estudo dirigido I 3 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
• Matriz retangular 
Para que uma matriz seja retangular por sua definição, é necessário que 
𝒎 ≠ 𝒏, ou seja, sua ordem. 
Ex.1: 
𝐴3𝑥2 = (
2 3
8 7
5 6
) 
Ex.2: 
𝐴3𝑥4 = (
4 1
1 4
1 7
0 9
2 3
1 2
) 
• Matriz linha 
Uma matriz linha possui apenas uma linha. 
Ex.: 
𝐴1𝑥3 = (2 4 4) 
• Matriz coluna 
Uma matriz coluna possui apena uma coluna. 
Ex.: 
𝐴3𝑥1 = (
1
0
2
) 
• Matriz nula 
Em uma matriz nula, todos seus elementos são iguais a 0 (zero), em 
quaisquer seja sua ordem. 
Ex.: 
𝐴3𝑥2 = (
0 0
0 0
0 0
) , ou 03x2. 
 
• Matriz triangular 
 Estudo dirigido I 4 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
A matriz triangular é basicamente a matriz que tem todos os elementos 
nulos acima ou abaixo da diagonal principal. Contudo, para saber se a matriz é 
triangular superior ou inferior, precisa situar onde está situada os elementos não-
nulos. 
Ex.: 
𝐴3𝑥3 = (
4 7 7
0 2 4
0 0 4
) 
Esta é uma matriz triangular superior, pois os elementos não-nulos estão 
situados na parte superior. 
 
• Matriz diagonal 
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada em que todos os elementos que não 
estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo: 
𝑎)𝐴 2𝑥2 = [
2 0
0 1
] 
𝑏) 𝐵 3𝑥3 = [
4 0 0
0 3 0
0 0 7
] 
 
• Matriz identidade 
É a matriz quadrada em que a diagonal principal os termos são iguais a 1 e 
os demais elementos são nulos. 
Ex.: 
𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
• Matriz transposta 
𝐴𝑡 é a matriz transposta de 𝐴 quando as linhas de 𝐴𝑡 são, ordenadamente, 
iguais às colunas de 𝐴, vice-versa. 
 Estudo dirigido I 5 
 
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𝐴 = (
2 3
5 1
0 2
) 3𝑥2 então, 𝐴𝑡 = (
2 5 0
3 1 2
)
2𝑥3
 
 
• Matriz simétrica 
Matriz simétrica uma matriz quadrada de ordem n tal que 𝐴 = 𝐴𝑡. 
Por exemplo: 
𝐴 = [
3 5 6
5 2 4
6 4 8
] é simétrica, pois... 
𝑎12 = 𝑎21 = 5, 𝑎13 = 𝑎31 = 6, 𝑎23 = 𝑎32 = 4, ou seja, temos sempre 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖. 
 
• Matriz antissimétrica 
Uma matriz é dita antissimétrica, se é quadrada e cada um de seus 
elementos é igual ao oposto do elemento correspondente de sua transposta. 
A = −At 
Exemplo: 
A = (
 0 −5 1
 5 0 0
−1 0 0
) At = [
 0 5 −1
−5 0 0
 1 0 0
] −At = (
 0 −5 1
 5 0 0
−1 0 0
) 
 
Os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica são 
necessariamente nulos. 
 
• Matriz oposta 
Dada uma matriz 𝑨 do tipo 𝒎 𝒙 𝒏, chama-se de matriz oposta de 𝑨, e indica-
se por −𝑨, a matriz que somada com 𝑨 resulta na matriz nula de mesmo tipo, ou 
seja: 𝑨 + (−𝑨) = 𝟎𝒎𝒙𝒏. 
Ex.: 
Se 𝐴 = (
1 0
2 −3
), então −𝐴(
−1 0
−2 3
), pois: 
 Estudo dirigido I 6 
 
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(
1 0
2 −3
) + (
−1 0
−2 3
) = (
0 0
0 0
) 
 
• Matriz ortogonal 
Uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada real 𝐀 cuja inversa seja igual 
a sua transposta, isto é: 
𝐴−1 = 𝐴𝑇, isto é: 𝐴. 𝐴𝑇 = 𝐴𝑇. 𝐴 = 𝐼 
Observando que uma matriz é ortogonal, se e somente se, as colunas (ou 
linhas) forem vetores ortonormais. 
 
➢ OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
• Adição de Matrizes 
 Duas matrizes do mesmo tipo, 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋) 𝒎 𝒙 𝒏 e 𝑩 = (𝒃𝒊𝒋) 𝒎 𝒙 𝒏, matriz 
soma 𝑨 + 𝑩 é a matriz 𝑪 = (𝒄𝒊𝒋) 𝒎 𝒙 𝒏, na qual 𝑪𝒊𝒋 = (𝒂𝒊𝒋) + (𝒃𝒊𝒋) para todo 𝒊 e 
todo 𝒋. 
Ex.: 
Considere as matrizes 𝑨 e 𝑩: 𝐴 = (
2 3 1
0 1 4
) e 𝐵 = (
0 1 2
−1 3 5
). Para 
obter a matriz 𝑪 = 𝑨 + 𝑩 basta somar os elementos correspondentes de 𝑨 e 𝑩: 
𝐶 = (
2 3 1
0 1 4
) + (
0 1 2
−1 3 5
) ⇒ (
2 + 0 3 + 1 1 + 2
0 + (−1) 1 + 3 4 + 5
) ⇒ 𝐶 = (
2 4 3
−1 4 9
) 
 
• Subtração de matrizes 
 A diferença entre duas matrizes 𝑨 e 𝑩, de mesmo tipo, é a soma da 
matriz 𝑨 com a oposta de 𝑩, isto é: 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 + (−𝑩). 
Ex.: 
 Estudo dirigido I 7 
 
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𝐴 = (
2 3 5
−4 −2 0
) e 𝐵 = (
0 −2 1
−3 4 5
) 
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) = (
2 3 5
−4 −2 0
) − (
0 −2 1
−3 4 5
) = (
2 5 4
−1 −6 5
) 
 
• Multiplicação de Matrizes 
O produto das matrizes 𝑨 e 𝑩, indicado por 𝑨.𝑩, só é definido se o número 
de coluna de 𝑨 é igual ao número de linhas de 𝑩. Esse produto terá o mesmo 
número de linhas da matriz 𝑨 e o mesmo número de colunas da matriz 𝑩. 
𝐴𝑚 𝑥 𝑛 . 𝐵𝑛 𝑥 𝑝 = 𝐶𝑚 𝑥 𝑝 
Ex.: 
Dadas as matrizes 𝐴 = (
2 0 1
1 3 4
) e 𝐵 = (
0 1
5 4
3 1
), vamos determinar 𝐴. 𝐵: 
Como a matriz 𝐴 é do tipo 2𝑥3 e a matriz 𝐵 é do tipo 3𝑥2, existe o produto 
𝑨.𝑩. Então, 𝑨.𝑩 = 𝑪, sendo 𝑪 = (𝑪𝒊𝒋)𝟐𝒙𝟐 
𝐴. 𝐵 = (
𝐶11 𝐶12
𝐶21 𝐶22
) ⇒ (
2 0 1
1 3 4
) . (
0 1
5 4
3 1
) 
𝐶 = (
2.0 + 0.5 + 1.3 2.1 + 0.4 + 1.1
1.0 + 3.5 + 4.3 1.1 + 3.4 + 4.1
) = (
3 3
27 17
) 
 
➢ IGUALDADE DE MATRIZES 
Dada uma matriz 𝑨 e uma matriz 𝑩, as duas poderão ser iguais, se e somente 
se, seus elementos correspondentes forem iguais. 
Ex.: 
𝐴 = [
−50 11
 63 −7
 8 −10
] 3𝑥2 𝐵 = [
−50 11
 63 −7
 8 −10
] 3𝑥2 
 
 
 Estudo dirigido I 8 
 
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As matrizes 𝑨 e 𝑩 são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais. 
 
➢ ESCALONAMENTO DE MATRIZES 
No método do escalonamento, o objetivo é encontrar um sistema linear 
equivalente, mas que seja mais fácil de resolver do que o sistema inicial. Para 
isso, é utilizada a matriz associada ao sistema linear obtendo assim a forma 
escalonada dessa matriz. A forma de uma matriz escalonada depende da 
quantidade de linhas e colunas, ou seja, da quantidade de equações e da 
quantidade de incógnitas no sistema linear. Considerando um sistema com 
mesmo número de equações e de incógnitas, a matriz escalonada será uma 
matriz triangular superior, que é uma matriz onde todos os elementos abaixo da 
diagonal principal são iguais a zero. 
Exemplos: A = (
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
) 𝐵 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
) 𝐶 = (
1 0
0 1
0
0
0
0
) 
 
Para resolver usando o método do escalonamento podemos: 
 
Multiplicar uma linha inteira por uma constante não-nula. 
Trocar ou permutar trocar duas linhas inteiras entre si. 
Somar ou subtrair um múltiplo de uma linha a uma outra linha.1) O primeiro número da primeira linha deve ser 1 (chamamos de pivô) 
 
Pivô da primeira linha deve ser 1, para isso podemos realizar todas as 
operações elementares sobre linhas de matriz (multiplicar, permutar, 
somar/subtrair). 
 
2) Cada coluna que contém o pivô tem sempre 0 nas demais entradas. 
 
 
• Método de Gauss 
 Um sistema linear pode ser resolvido através do método da substituição ou 
pelo método de Cramer, com o auxílio da regra de Sarrus. Uma nova forma de 
resolução será apresentada no intuito de ampliar as técnicas capazes de 
determinar os valores das incógnitas de um sistema de equações lineares. 
Vamos demonstrar como funciona o escalonamento de um sistema na forma de 
matriz completa dos coeficientes. 
 Estudo dirigido I 9 
 
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Dado o sistema de equações: {
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 8
𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 15
3𝑦 + 2𝑧 = 9
 
 vamos escrevê-lo na forma de uma matriz completa dos coeficientes. 
|
2 1 1
1 1 4
0 3 2
 
8
15
9
 |
𝐿1
𝐿2
𝐿3
 
Vamos subtrair os elementos da linha 2(L2) pela metade dos elementos da 
linha 1(L1). 
𝐿2 – 𝐿1.
1
2
 
|
2 1 1
0 1/2 7/2
0 3 2
 
8
11
9
 |
𝐿1
𝐿2
𝐿3
 
 
Vamos subtrair os elementos da linha 3(L3) pelo sêxtuplo dos elementos da 
linha 2(L2). 
𝐿3 – 6 . 𝐿2 
|
2 1 1
0 1/2 7/2
0 0 −19
 
8
11
−57
 |
𝐿1
𝐿2
𝐿3
 
 
Observe que ao realizarmos as operações demonstradas, conseguimos 
zerar alguns elementos da matriz e, respectivamente, coeficientes do sistema de 
equações. Veja o sistema simplificado que obtemos com o escalonamento da 
matriz completa dos coeficientes numérico. 
 Estudo dirigido I 10 
 
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O conjunto solução do sistema proposto é: 𝐒 = {(𝐱, 𝐲, 𝐳)} = {(𝟐, 𝟏, 𝟑)} 
 
 O sistema de escalonamento de matrizes completas dos coeficientes 
numéricos de um sistema de equações lineares possui a finalidade de simplificar 
o sistema através de operações entre os elementos pertencentes às linhas da 
matriz. 
• Método de Gauss-Jordan 
Processo de eliminação que pode ser usado para reduzir qualquer matriz 
à forma escalonada reduzida por linhas. Utilizaremos uma matriz como exemplo 
para explicar o passo-a-passo. 
(
0 0 −2
2 4 −10
2 4 −5
 
0 7 12
6 12 28
6 −5 −1
) 
 
Passo 1 – Localize a coluna mais à esquerda que não seja constituída 
inteiramente de zeros. 
(
0 0 −2
2 4 −10
2 4 −5
 
0 7 12
6 12 28
6 −5 −1
) ⇒ Coluna não − nula mais à esquerda 
 
{𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟖 
𝒚
𝟐
+
𝟕𝒛
𝟐
= 𝟏𝟏 
−𝟏𝟗𝒛 = −𝟓𝟕 
−𝟏𝟗𝒛 = −𝟏𝟓 
𝟏𝟗𝒛 = 𝟓𝟕 
𝒛 =
𝟓𝟕
𝟏𝟗
 
𝒛 = 𝟑 
 
 
𝒚
𝟐
+
𝟕𝒛
𝟐
= 𝟏𝟏 
𝒚
𝟐
+
𝟕𝒙𝟐
𝟐
= 𝟏𝟏 
𝒚
𝟐
+
𝟐𝟏
𝟐
= 𝟏𝟏 
𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟐𝟐 
𝒚 = 𝟐𝟐 − 𝟐𝟏 
𝒚 = 𝟏 
 
𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟖 
𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟑 = 𝟖 
𝟐𝒙 = 𝟖 – 𝟒 
𝟐𝒙 = 𝟒 
𝒙 = 𝟐 
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Passo 2 – Permute a primeira linha com uma outra linha, se necessário, para 
obter uma entrada não-nula ao topo da coluna encontrada no Passo 1. 
(
2 4 −10
0 0 −2
2 4 −5
 
6 12 28
0 7 12
6 −5 −1
) ⇒Foram permutadas a 1° e a 2° linha da matriz 
precedente 
 
Passo 3 – Se a entrada que agora está no topo da coluna encontrada no Passo 
é a, multiplique a primeira linha inteira por 1/a para introduzir um líder. 
 
(
1 2 −5
0 0 −2
2 4 −5
 
3 6 14
0 7 12
6 −5 −1
)
⇒ A primeira linha da matriz precedente foi multiplicada por 
1
2
. 
 
Passo 4 – Some múltiplos convenientes da primeira linha às linhas inferiores 
para obter zeros em todas as entradas abaixo do líder. 
 
(
1 2 −5
0 0 −2
0 0 5
 
3 6 14
0 7 12
0 −17 −29
)
⇒ −2 multiplicou a 1° linha da matriz e depois o resultado foi somado à terceira linha. 
 
Passo 5 – Agora esconda a primeira linha da matriz e recomece aplicando o 
passo 1 à submatriz resultante. Continue desta maneira até que toda a matriz 
esteja em forma escalonada. 
 
(
1 2 −5
0 0 −2
2 4 5
 
3 6 14
0 7 12
0 −17 −29
) ⇒ Coluna não − nula mais à esquerda da submatriz 
 
 Estudo dirigido I 12 
 
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(
1 2 −5
0 0 1
0 0 5
 
3 6 14
0 −7/2 −6
0 −17 −29
) ⇒A primeira linha da submatriz foi multiplicada 
por –1/2 para introduzir um líder. 
 
(
1 2 −5
0 0 1
0 0 0
 
3 6 14
0 −7/2 −6
0 1/2 1
) ⇒ -5 multiplicou a1° linha da submatriz e o 
resultado foi somado à 2° linha da submatriz para introduzir um zero abaixo do 
líder. 
 
(
1 2 −5
0 0 1
0 0 0
 
3 6 14
0 −7/2 −6
0 1/2 1
)
⇒ A linha superior da submatriz foi tratada e retornamos ao Passo 1. 
 
 Coluna não-nula mais à esquerda da nova submatriz. 
(
1 2 −5
0 0 1
0 0 0
 
3 6 14
0 −7/2 −6
0 1 2
)
⇒ A 1° (e única) linha da nova submatriz foi multiplicada por 2 para introduzir um novo líder. 
 
Agora a matriz está na forma escalonada. Para reduzi-la à forma 
escalonada por linhas precisamos de mais um passo. 
Passo 6 – Começando com a última linha não-nula e trabalhando para cima, 
some múltiplos convenientes de cada linha às linhas superiores para introduzir 
zeros acima dos líderes. 
(
1 2 −5
0 0 1
0 0 0
 
3 6 14
0 0 1
0 1 2
) ⇒ 7/2 vezes a terceira linha da matriz precedente foi 
somada à segunda linha. 
 Estudo dirigido I 13 
 
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(
1 2 −5
0 0 1
0 0 0
 
3 0 2
0 0 1
0 1 2
) ⇒ -6 multiplicou a 3° linha e o resultado foi somado à 1° 
linha. 
 
(
1 2 0
0 0 1
0 0 0
 
3 0 7
0 0 1
0 1 2
) ⇒ 5 multiplicou a 2° linha e o resultado foi somado à 1° 
linha. 
 
 A última matriz está na forma escalonada reduzida por linhas. Através destes 
seis passos efetuamos a eliminação de Gauss-Jordan. 
 
• Potência de uma matriz quadrada 
Seja 𝑨 = 𝑨𝒏𝒙𝒏 uma matriz com n linhas e n colunas, definimos as potencias 
da matriz A com expoente natural ℕ ∈ {0,1,2,3,...} através de 𝑨𝒏+𝟏 = 𝑨𝒏. 𝑨 sendo 
𝑨𝟎 = 𝑙𝑛 a matriz identidade com 𝑛 linhas e 𝑛 colunas. 
Ex.: 
Se 𝐴 = (
1 2
0 3
) então 𝐴0 = 𝑙, 𝐴1 = 𝐴 e 
 
 𝐴2 = (
1 2
0 3
). (
1 2
0 3
) = (
1 8
0 9
) 
 
Para obter 𝑨³, basta usar a recursividade, como: 
𝐴3 = 𝐴2. 𝐴 = (
1 8
0 9
) . (
1 2
0 3
) = (
1 26
0 27
) 
 
Logo, se uma matriz 𝑨 tem ordem 2, então 𝑨² pode ser escrita como 
combinação linear das matrizes 𝑨 e 𝒍𝟐, isto é, existem escalares 𝒑𝟎 e p1 tal que 
𝑨² = 𝒑𝟎𝑨 + 𝒑𝟏 𝒍𝟐. 
 Estudo dirigido I 14 
 
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• Matriz inversa e suas propriedades 
Seja a matriz 𝑨𝒏𝒙𝒏 quadrada, ou seja, que tenha a mesma quantidade de 
linhas e colunas, a matriz inversa para 𝑨 é dada por 𝑨𝒏𝒙𝒏
−𝟏
 tal que: 
𝑨𝒏𝒙𝒏. 𝑨
−𝟏. 𝑨𝒏𝒙𝒏 = 𝒍𝒏𝒙𝒏 
onde 𝒍𝒏𝒙𝒏 é uma matriz identidade de ordem n, também quadrada. É importante 
lembrar que uma matriz pode não ser inversivel. Se uma matriz 𝑨 tiver inversa, 
dizemos que 𝑨 é inversivel, sendo que sua inversa é uma matriz única. Se 𝑨 não 
for inversivel, dizemos que 𝑨 é uma matriz singular. 
Para calcularmos uma matriz inversa, usamos o método de resolução por 
sistemas lineares; como vimos na definição acima a multiplicação de uma matriz 
pela sua inversa tem como resultado uma matriz identidade e é a partir disso que 
criamos um sistema e calculamos a inversa de uma matriz. 
Exemplo: Seja 𝑨 uma matriz quadrada de ordem 𝒏, a inversa de 𝑨 é 𝑨−𝟏, 
pela definição, se 𝑨 é inversivel então 𝑨 . 𝑨−𝟏 = 𝒍𝒏. 
 
𝐴 = [
2 1
0 1
] 
 
Primeiro para saber se A é inversivel temos que calcular seu 
determinante. Então: 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝟐 . 𝟏 – 𝟏 . 𝟎 = 𝟐 – 𝟎 = 𝟐, como o determinante 
de 𝑨 é diferente de zero, então 𝑨 possui inversa. Por tanto 𝑨 . 𝑨−𝟏 = 𝒍𝒏 temosque os elementos que os elementos de 𝑨 e da identidade são conhecidos, mas 
os elementos de 𝑨−𝟏como não sabemos quais são, então vamos definir as 
variáveis 𝒙, 𝒚, 𝒛 e 𝒘 como seus elementos. Assim: 
 
[
2 1
0 1
] x [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] = [
1 0
0 1
] 
 
 Estudo dirigido I 15 
 
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Observe que substitui 𝑨 . 𝑨 −𝟏 = 𝒍𝒏 pelas matrizes em questão. Agora o 
passo seguinte é realizar a multiplicação dos elementos de 𝑨 pelos elementos 
de 𝑨−𝟏. Então: 
𝑨 . 𝑨−𝟏 = [
2𝑥 + 𝑧 2𝑦 + 𝑤
𝑧 𝑤
] = [
1 0
0 1
] 
 
Agora podemos montar um sistema de equações de forma que possamos 
encontrar os valores para 𝒙, 𝒚, 𝒛 e 𝒘, fazendo com que cada elemento da matriz 
à esquerda corresponda com a matriz identidade à direita; assim teremos dois 
sistemas: 
{
2𝑥 + 𝑧 = 1
𝑧 = 0
 
{
2𝑦 + 𝑤 = 0
𝑤 = 1
 
 
É importante que as variáveis iguais fiquem no mesmo sistema, como w 
e z nos sistemas acima. A partir dos sistemas montados, é só os resolver da 
seguinte maneira: 
{
2𝑥 + 𝑧 = 1
𝑧 = 0
 ⇒ 2𝑥 + 0 = 1 ⇒ 2𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 =
1
2
 
{
2𝑦 + 𝑤 = 0
𝑤 = 1
 ⇒ 2𝑦 + 1 = 0 ⇒ 2𝑦 = −1 ⇒ 𝑦 = −
1
2
 
 
Com os valores de 𝒙, 𝒚, 𝒛 e 𝒘 encontrados, então encontramos a inversa de 𝑨. 
Portanto, 𝑨−𝟏 = [
1
2
−
1
2
0 1
], para verificar se 𝑨−𝟏 é mesmo a inversa de 𝑨 é só 
multiplicar 𝑨 por 𝑨−𝟏 e ver se encontra a matriz identidade, se encontrar a matriz 
identidade, então 𝑨−𝟏 será a inversa de 𝑨. 
 
 
➢ DETERMINANTES 
 Estudo dirigido I 16 
 
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• Determinantes de ordem 1, 2 e 3 
O conceito de determinantes está associado a toda matriz quadrada, obtido 
por meio de operações com suas entradas. 
Indica-se a matriz 𝑨 por ou substituem-se seus parênteses, colchetes ou 
barras duplas por barra simples. 
𝐴 = (
0 3 8
1 4 3
6 1 7
) e 𝑑𝑒𝑡𝐴 = |
0 3 8
1 4 3
6 1 7
| 
 
𝐵 = [8] e 𝑑𝑒𝑡𝐵 = |8| 
 
O determinante da matriz de ordem 1, é igual ao próprio elemento da 
matriz, pois sé composta por somente 1 linha e 1 coluna. 
Ex.: 
𝐴 = [4] e 𝑑𝑒𝑡𝐴 = |4| 
 
O determinante da matriz de ordem 2, tem uma diferença entre os produtos 
dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária. 
Ex.: 
𝐴 = (
2 −3
−1 4
) ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = |
2 −3
−1 4
| = (2.4) − [(−3). (−1)] ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 5 
Diagonal principal Diagonal secundária 
 
O determinante de matriz de ordem 3, pode ser resolvida por um dos 3 
métodos mais básicos: Regras de Sarrus, Cofator de uma matriz, ou Teorema 
de Laplace. 
 
 Estudo dirigido I 17 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
Regra de Sarrus: 
1º ao lado de uma matriz, copiam-se suas duas primeiras colunas. 
2º multiplicam-se os elementos da diagonal principal e paralelamente a ela, 
multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita. 
/ 3º Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, paralelamente a 
ela, os elementos das outras duas filas a sua direita. 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = |
1 2 3 1 2
0 2 4 0 2
−1 3 5 −1 3
| 
−6 12 0 10 −8 0 
4º Subtraem-se as somas dos produtos obtidos em 2º e em 3º, nessa ordem. 
Portanto: 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = (10 − 8 + 0) − (−6 + 12 + 0) ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = −9 
 
Cofator de uma Matriz 
O cofator é um número associado a um número de qualquer matriz 
quadrada. Para definir o cofator de uma matriz, é necessário definir o menor 
principal ou menor complementar, ou seja, eliminando a linha 𝒊 e a coluna 𝒋 da 
matriz 𝑨 representamos o menor principal por 𝑫. 
 
𝑨𝒊𝒋 = (−𝟏)
𝒊+𝒋. 𝒅𝒆𝒕𝑨 
Ex.: 
Seja 𝐴 = (
1 2 0
3 −1 2
4 −2 5
), obter 𝐴12: 
Eliminando-se a 1ª linha e a 2ª coluna (
1 2 0
3 −1 2
4 −2 5
) 
𝐴12 = (−1)
1+2 = |
3 2
4 5
| = −7 
 Estudo dirigido I 18 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
Como 𝑫 = 𝟎 e 𝑫𝒙 ≠ 𝟎, o sistema é impossível e não apresenta solução. 
 
• Propriedades dos determinantes 
1º propriedade: O determinante de uma matriz quadrada é igual ao 
determinante de sua matriz transposta. 
Exemplo: 
 𝑺 = [
−𝟒 𝟏
 𝟕 𝟐
] ⇒ 𝑺𝑻 = [
−𝟒 𝟕
 𝟏 𝟐
] 
𝒅𝒆𝒕(𝑺) = [(−𝟒)(𝟐)] − [(𝟏)(𝟕)] 𝒅𝒆𝒕(𝑺𝑻) = [(−𝟒)(𝟐)] − [(𝟕)(𝟏)] 
𝒅𝒆𝒕(𝑺) = −𝟖 − 𝟕 = −𝟏𝟓 ⇒ 𝒅𝒆𝒕(𝑺) = −𝟖 − 𝟕 = −𝟏𝟓 
 
2° propriedade: Caso haja, numa matriz quadrada, uma coluna ou uma 
linha de zeros, o determinante será zero. 
 Ex.: 
𝑹 = [
 𝟎 𝟏
 𝟎 𝟐
] ⇒ 𝑻 = [
 𝟎 𝟎
 𝟑 −𝟏𝟎
] 
𝒅𝒆𝒕(𝑹) = (𝟎)(𝟐) − (𝟏)(𝟎) 𝒅𝒆𝒕(𝑻) = (𝟎)(−𝟏𝟎) −
(𝟑)(𝟎) 
𝒅𝒆𝒕(𝑹) = 𝟎 − 𝟎 = 𝟎 ⇒ 𝒅𝒆𝒕(𝑻) = 𝟎 − 𝟎 = 𝟎 
 
3°propriedade: Se trocarmos a posição de duas linhas (ou colunas) de 
uma matriz quadrada de ordem 2 ou maior, o determinante da nova matriz será 
o oposto da matriz original. 
Ex.: 
𝐀 = [
 𝟐 𝟏
−𝟒 𝟑
] 𝐁 = [
𝟏 𝟐
𝟑 −𝟒
] 
𝐃𝐄𝐓(𝐀) = [(𝟐)(𝟑)] − [(𝟏)(−𝟒)] 𝐃𝐄𝐓(𝐁) = [(𝟏)(−𝟒)] −
[(𝟐)(𝟑)] 
 Estudo dirigido I 19 
 
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𝐃𝐄𝐓(𝐀) = 𝟔 + 𝟒 = 𝟏𝟎 𝐃𝐄𝐓(𝐁) = −𝟒 − 𝟔 = −𝟏𝟎 
 
 
4° propriedade: Se duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada de 
ordem 2 ou maior forem iguais, o determinante é zero. 
Ex.: 
𝐀 = [
𝟏 𝟏
𝟐 𝟐
] 𝐁 = [
𝟑 𝟒
𝟑 𝟒
] 
𝐃𝐄𝐓(𝐀) = (𝟏)(𝟐) − (𝟏)(𝟐) 𝐃𝐄𝐓(𝐁) = (𝟑)(𝟒) − (𝟒)(𝟑) 
𝐃𝐄𝐓(𝐀) = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 𝐃𝐄𝐓(𝐁) = 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎 
 
5° propriedade: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou 
coluna) de uma matriz quadrada por um número real, seu determinante também 
ficará multiplicado por esse número. 
Ex.: 
𝑨 = [
 𝟐 𝟖
𝟑 𝟏
] 𝟏°𝐋𝐈𝐍𝐇𝐀 𝐱𝟐 𝑩 = [
𝟒 𝟏𝟔
𝟑 𝟏
] 
𝒅𝒆𝒕(𝑨) = (𝟐)(𝟏) − (𝟑)(𝟖) = −𝟐𝟐 𝒅𝒆𝒕(𝑩) = (𝟒)(𝟏) − (𝟑)(𝟏𝟔) = −𝟒𝟒 
 
 
6° propriedade: Se os elementos correspondentes de duas linhas ou de 
duas colunas de uma matriz de ordem 2 ou maior forem proporcionais, o 
determinante é zero. 
Ex.: 𝑨 = [
𝟏 𝟐
𝟑 𝟔
] 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = (𝟏)(𝟔) − (𝟐)(𝟑) = 𝟎 
 
 x2 
𝒅𝒆𝒕(𝑨) é 2x 𝒅𝒆𝒕(𝑩) 
OPOSTOS 
 Estudo dirigido I 20 
 
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7° propriedade: No caso de uma matriz triangular, o determinante dessa 
matriz será igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal. 
Ex.: 
 𝑨 = [
𝟔 𝟎
𝟏 𝟒
] 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = (𝟔)(𝟒) − (𝟎)(𝟏) = 𝟐𝟒 
 DIAGONAL PRINCIPAL ⇒ 𝟔 𝒙 𝟒 = 𝟐𝟒 
 
8° propriedade: Multiplicando todos os elementos de uma linha (ou 
coluna) de uma matriz de ordem 2 (ou maior) por um número e adicionando o 
resultado obtido aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, 
obteremos uma segunda matriz, tal que os determinantes das duas matrizes 
serão iguais. 
Ex.: 
𝑨 = [
𝟏 −𝟑
𝟓 𝟕
] 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = (𝟏)(𝟕) − (−𝟑)(𝟓) = 𝟐𝟐 
 
Multiplicando a 1° coluna por 2, somando o resultado à 2° coluna e 
substituindo esse resultado na própria 2° coluna, teremos a matriz B: 
𝑨 = [
𝟏 −𝟑
𝟓 𝟕
] [
𝟏
𝟓
] 𝒙𝟐 = [
𝟐
𝟏𝟎
] + [
−𝟑
𝟕
] = [
−𝟏
𝟏𝟕
] 𝑩 = [
𝟏 −𝟏
𝟓 𝟏𝟕
] 
 
𝒅𝒆𝒕(𝑩) = (𝟏)(𝟏𝟕) − (−𝟏)(𝟓) = 𝟐𝟐 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝒅𝒆𝒕(𝑩) 
 
9° propriedade: Se duas matrizes quadradas têm a mesma ordem, o 
determinante do produto dessas matrizes é igual ao produto dos determinantes 
de cada uma delas. Essa propriedade é chamada de Teoremade Binet 
 Ex.: 
𝑨 = [
𝟑 𝟓
𝟏 𝟐
] 𝑩 = [
 𝟏 𝟐
−𝟏 𝟎
] 𝑨. 𝑩 = [
−𝟐 𝟔
−𝟏 𝟐
] 𝒅𝒆𝒕(𝑨.𝑩) = −𝟒 + 𝟔 = 𝟐 
 Estudo dirigido I 21 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
 
𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝟔 − 𝟓 = 𝟏 𝒅𝒆𝒕(𝑨.𝑩) = 𝒅𝒆𝒕(𝑨). 𝒅𝒆𝒕(𝑩) 
𝒅𝒆𝒕(𝑩) = 𝟎 + 𝟐 = 𝟐 𝟐 = 𝟐 
𝒅𝒆𝒕(𝑨).𝒅𝒆𝒕(𝑩) = 𝟐 
 
• Regra de Cramer 
A regra de Cramer diz que os valores das incógnitas de um sistema linear 
são dados por frações cujo denominador é o determinante da matriz dos 
coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante da matriz dos 
coeficientes das incógnitas após a substituição de cada coluna pela coluna que 
representa os termos independentes do sistema. 
Ex.: 
Encontrando a solução do sistema utilizando a regra de Cramer. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 12
𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = −16
 
 
Primeiro, devemos escrever a matriz que representa os coeficientes das 
incógnitas e obter seu determinante. 
𝐴 = |
1 1 1
2 −1 2
1 −1 −3
| 𝐴−1 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = |
1 1 1
2 −1 2
1 −1 −3
 
1 1
2 −1
1 −1
 | = 12 
 
Em seguida, devemos excluir a primeira coluna da matriz dos coeficientes 
das incógnitas e substitui-la pelos termos independentes do sistema 12, 12 e -
16, e calcular o determinante. 
 Estudo dirigido I 22 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
𝐴𝑥 = |
 12 1 1
 12 −1 2
−16 −1 −3
| 
 
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑥 = |
 12 1
 12 −1
−16 −1
 
 1 12 1
 2 12 −1
−3 −16 1
| = 36 
 
Agora, faremos o mesmo com a segunda coluna da matriz dos 
coeficientes das incógnitas. 
𝐴𝑦 = |
1 12 1
2 12 2
1 −16 −3
| 
 
Calculando o determinante dessa matriz, obtemos: 
 
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑦 = |
1 12
2 12
1 −16
 
 1 1 12
 2 2 12
−3 1 −16
| = 48 
 
Repetindo o mesmo procedimento para a terceira coluna da matriz dos 
coeficientes das incógnitas, temos: 
𝐴𝑧 = |
1 1 12
2 −1 12
1 −1 −16
| 
 
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑧 = |
1 1
2 −1
1 −1
 
 12 1 1
 12 2 −1
−16 1 −1
| = 60 
 
Segundo a regra de Cramer, temos que: 
𝑥 = 
det 𝐴𝑥
det 𝐴
= 
36
12 
= 3 
 Estudo dirigido I 23 
 
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𝑦 = 
det 𝐴𝑦
det 𝐴
= 
48
12 
= 4 
𝑧 = 
det 𝐴𝑧
det 𝐴
= 
60
12 
= 5 
 
Assim, o conjunto solução do sistema é 𝑆 = {( 3, 4, 5)} 
• Regra de Chió 
A regra de Chió é mais uma técnica que facilita o cálculo do determinante 
de uma matriz quadrada de ordem 𝒏(𝒏 > 𝟐 ). Essa regra nos permite passar de 
uma matriz de ordem n para outra de ordem 𝒏 − 𝟏, de igual determinante. 
Ex: Vamos calcular o determinante associado à matriz 
 
A=[
𝟐 𝟑 𝟒
𝟓 𝟏 𝟑
𝟐 𝟒 𝟔
] 
 
Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos 
um de seus elementos igual a 1. Assim fixando um desses elementos, retiramos 
a linha e a coluna onde ele se encontra. 
 
|
𝟐 𝟑 𝟒
𝟓 𝟏 𝟑
𝟐 𝟒 𝟓
| 
 
Passo 2: Em seguida subtraímos do elemento restante o produto dos dois 
correspondentes que foram eliminados (um da linha e outro da coluna). 
 
|
𝟐 − (𝟓. 𝟑) 𝟒 − (𝟑. 𝟑)
𝟐 − (𝟓. 𝟒) 𝟔 − (𝟒. 𝟑)
| = |
𝟐 − (𝟏𝟓) 𝟒 − (𝟗)
𝟐 − (𝟐𝟎) 𝟔 − (𝟏𝟐)
| = |
−𝟏𝟑 −𝟓
𝟏𝟖 −𝟔
| 
 
Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por (−𝟏)𝐢+𝐣, onde i 
representa a linha e j a coluna retiradas (neste caso 2° linha e 2° coluna). 
 
𝐝𝐞𝐭𝐀 = (−𝟏)𝟐+𝟐|−𝟏𝟓 − 𝟓| = (−𝟏)𝟒. (𝟕𝟖 − 𝟗𝟎) ⇒ 
𝒅𝒆𝒕𝑨 = −𝟏𝟐 
 Estudo dirigido I 24 
 
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• Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz 𝑨, de ordem 𝒏 ≥ 𝟐, é a soma dos produtos 
dos elementos de uma fila de qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos 
cofatores. 
 Ex.: 
Obter o determinante de 𝐴 = (
1 2
3 −2
−3 0
1 5
0 1
−3 0
−1 2
4 1
) 
 Escolhendo a 1ª linha: 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1. 𝐴11 + 2. 𝐴12 + (−3). 𝐴13 + 0. 𝐴14 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1. (−1)2. |
−2 1 5
1 −1 2
0 4 1
| + 2. (−1)3. |
3 1 5
0 −1 2
−3 4 1
|
+ (−3). (−1)4 |
3 −2 5
0 1 2
−3 0 1
| 
 
➢ SISTEMAS LINEARES 
Os estudos relacionados aos sistemas lineares estão diretamente ligados 
às equações lineares, pois os sistemas são formados através do conjunto delas, 
elas são equações que possuem coeficientes reais, o termo independente 
também é um número real e os expoentes são unitários. 
 Exemplos de equações lineares: 
 
 
 
 
 
 
 𝟔𝒙 + 𝒚 = 𝟑 
coeficientes: (6, 1) 
termo independente: 3 
expoente: unitário 
 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟐 
 
coeficientes: (1, 1, 1) 
termo independente: 12 
expoente: unitário 
 Estudo dirigido I 25 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
 
 
 
 
 
 
Uma equação linear possui soluções de acordo com a seguinte situação: 
dada uma equação linear, os valores das incógnitas serão tais que satisfazem 
a sua igualdade, isto é, tornem a equação verdadeira. 
 Exemplos: 
 
Na equação linear 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟑, o par ordenado (2,1) é solução da equação, 
pois ele satisfaz a igualdade, observe: 
 
Substituindo, temos: 
 
 2.2 − 1 = 3 
 4 − 1 = 3 
 3 = 3 ⇒ condição verdadeira 
 
Exemplo 2 
Verifique se o terno ordenado (–1, 2, 4) é solução da equação linear 
𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎. Substituindo, temos: 
 
5. (−1) + 3.2 − 2.4 = 0 
−5 + 6 − 8 = 0 
−13 + 6 = 0 
−7 = 0 ⇒ Condições inexistente 
𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟐𝟓 
 
coeficientes: (5, 2, 5) 
termo independente: 25 
expoente: unitário 
𝟓𝒎+ 𝟒𝒏 + 𝟖𝒏 + 𝟗𝒑 = 𝟑𝟐 
 
coeficientes: (5, 4, 8, 9) 
termo independente: 32 
expoente: unitário 
 
 Estudo dirigido I 26 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
 
 Podemos verificar que o terno ordenado não satisfaz a equação linear, 
portanto não podemos atribuí-lo como resultado. Com base nas equações 
lineares que possuem igualdade igual a zero, elas são chamadas de 
homogêneas, composição dos conteúdos envolvendo sistemas lineares. 
 
• Sistemas lineares 2x2 
Resolver um sistema linear 2 × 2 significa obter o conjunto solução do 
sistema; os dois métodos mais utilizados para a resolução de um sistema linear 
2 × 2 são o método da substituição e o método da adição. Como exemplo, vamos 
resolver o sistema 2 × 2 abaixo usando os dois métodos citados. 
 
𝐷 = {
2𝑥 − 5𝑦 = 11
3𝑥 + 6𝑦 = 3
 ⇒ Encontramos o valor de y pelo método da adição: 
𝐷 = {
2𝑥 − 5𝑦 = 11. (−3)
3𝑥 + 6𝑦 = 3. (2)
 
 
A partir dessa multiplicação teremos o seguinte resultado: 
𝐷 = {
 −6 + 15𝑦 = −33
6𝑥 + 12𝑦 = 6
 
 0 + 27𝑦 = −27 
 y =
−27
 27
 
y = −1 
 
Podemos substituir o resultado encontrado para y na 1° equação do 
sistema (2𝑥 − 5𝑦 = 11), a fim de encontrar o valor de x: 
2𝑥 − 5. (−1) = 11 
2𝑥 + 5 = 11 
2𝑥 = 11 − 5 
 Estudo dirigido I 27 
 
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𝑥 = 6/2 
𝑥 = 3 
Assim, o conjunto solução do sistema é 𝑺 = (3,−1) 
 
• Sistemas lineares 3x3 
Um sistema de equações pode ser formado por várias incógnitas, mas 
somente será resolvido se o número de termos desconhecidos for igual ao 
número de equações do sistema. Os sistemas com três variáveis podem ser 
resolvidos através dos processos já conhecidos e estudados, substituição ou 
adição. 
Ex.: 
 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12 
𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = 1 
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 10 
 
Para resolver um sistema desse tipo devemos escolher uma das equações e 
isolar uma das incógnitas. 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12 
𝑥 = 12 − 2𝑦 − 𝑧 
 
Nas outras duas equações substituímos o valor da incógnita isolada. 
 
𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = 1 
12 − 2𝑦 − 𝑧 − 3𝑦 + 5𝑧 = 1 
−2 − 3𝑦 − 𝑧 + 5𝑦 = 1 − 12 
−5𝑦 + 4𝑧 = −112x – y + 3z = 10 
2. (12 − 2𝑦 − 𝑧) − 𝑦 + 3𝑧 = 10 
 Estudo dirigido I 28 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
24 − 4𝑦 − 2𝑧 − 𝑦 + 3𝑧 = 10 
−4 − 𝑦 − 2𝑧 + 3𝑧 = 10 − 24 
−5𝑦 + 𝑧 = −14 
 
Essas duas equações constituirão um sistema com duas variáveis e duas 
incógnitas, que poderá ser resolvido por qualquer método. 
−5𝑦 + 4𝑧 = −11 
−5𝑦 + 𝑧 = −14 
−5𝑦 = 𝑧 = −14 
𝑧 = −14 = 5𝑦 
 
−5𝑦 + 4𝑧 = −11 
−5𝑦 + 4(−14 + 5𝑦) = −11 
−5𝑦 − 56 + 20𝑦 = −11 
−5𝑦 + 20𝑦 = −11 + 56 
15𝑦 = 45 
𝑦 =
45
15
 
𝑦 = 3 
 
𝑧 = −14 + 5𝑦 
𝑧 = −14 + 5.3 
𝑧 = −14 + 15 
𝑧 = 1 
 
Encontrando o valor das duas incógnitas, basta substituir o valor delas na 
primeira equação. Assim determinaremos o valor das três incógnitas. 
 
𝑥 = 12 − 2𝑦 − 𝑧 
𝑥 = 12 − 2.3 − 1 
𝑥 = 12 − 6 − 1 
𝑥 = 5 
 Estudo dirigido I 29 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
 
O valor de x, y e z no sistema dado é 5, 3 e 1 respectivamente. 
 
• Sistemas lineares equivalentes 
O estudo sobre a equivalência de sistemas, trata sobre um sistema com 
equações totalmente diferentes, mas sendo solucionados por um mesmo 
conjunto de soluções. Em outras palavras, dizemos que dois sistemas são 
equivalentes quando eles possuem o mesmo conjunto solução. 
Ex.: 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
2𝑥 − 3𝑦 = 0
 
 
O conjunto solução desse sistema é 𝑺 = {(3,2)} 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 13
𝑥 − 𝑦 = 1
 
 
O conjunto solução desse sistema é 𝑺 = {(3,2)} 
Podemos ver que os dois sistemas possuem o mesmo conjunto solução, 
logo podemos afirmar que esses são sistemas equivalentes. 
 
• Sistema linear homogênea 
Um sistema linear da forma 
{ 
a11 x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
 ⋮ … ⋮ = ⋮ 
am1x1 + am2x2 + ⋯ + amnxn = 0
 ⇒ é chamado 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐡𝐨𝐦𝐨𝐠ê𝐧𝐞𝐨 
 
Este sistema pode ser escrito como A X = 0̅. Todo sistema homogêneo admite 
pelo menos a solução: 
 Estudo dirigido I 30 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
 𝑋 = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] = [
0
0
⋮
0
] ⇒ chamada de solução trivial 
 
Portanto, todo sistema homogêneo tem solução; para resolver um sistema linear 
homogêneo 𝑨𝐗 = �̅�, basta escalonarmos a matriz A do sistema, já que sob a 
ação de uma operação elementar a coluna de zeros não é alterada. Mas, é 
preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado à matriz 
resultante das operações elementares, para se levar em consideração esta 
coluna de zeros que não vimos escrevendo. 
 
Teorema: Se 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏, é tal que𝐦 < 𝐧, então o sistema 
homogêneo 𝑨𝐗 = �̅�, tem solução diferente da solução trivial, ou seja, todo 
sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas tem infinitas 
soluções. Como o sistema tem menos equações do que incógnitas 𝐦 < 𝐧, o 
número de linhas não nulas r da forma escalonada reduzida da matriz 
aumentada do sistema também é tal que 𝐫 < 𝐧. Assim, temos pelo menos 𝐧 − 𝐫 
incógnitas livres, que podem assumir qualquer valor. Logo, o sistema admite 
solução não trivial. 
 Ex.: 
O conjunto solução de um sistema linear homogêneo satisfaz duas 
propriedades importantes: 
1. 
Se X e Y são soluções do sistema homogêneo 𝑨𝐗 = �̅�, então 𝑨𝐗 = �̅� 
e 𝑨𝐘 = �̅� , e portanto 𝐱 + 𝐲 também é solução pois,𝑨(𝑿 = 𝒀) = 𝑨𝑿 +
𝑨𝒀 = �̅� + �̅� = �̅�; 
2. 
Se X é solução do sistema homogêneo 𝑨𝐗 = �̅�, então ∝ 𝑿 também o é, 
pois 𝑨(∝ 𝑿) =∝ 𝑨𝑿 =∝ �̅� = �̅�. 
 
 Estudo dirigido I 31 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
Portanto, se X e Y são soluções de um sistema homogêneo, então X + Y e 
 ∝ 𝑿 também o são. Estas propriedades não são válidas para sistemas lineares 
em geral. Por exemplo, considere o sistema linear 𝑨𝑿 = 𝑩, onde 𝐀[𝟏] 𝐞 𝐁 = [𝟏]. 
A solução deste sistema é 𝐗 = [𝟏]. Mas, 𝑿 + 𝑿 = 𝟐 𝑿 = 𝟐, não é solução do 
sistema. 
• Classificação de um sistema linear 
Os sistemas lineares podem ser classificados conforme o número de 
soluções possíveis. Lembrando que a solução das equações é encontrada pela 
substituição das variáveis por valores. 
Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução 
possível, o que acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0). 
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são 
infinitas, o que acontece quando o determinante é igual a zero (D = 0). 
Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de 
solução, o que acontece quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) 
e um ou mais determinantes secundários são diferentes de zero (D ≠ 0). 
As matrizes associadas a um sistema linear podem ser completas ou 
incompletas. São completas as matrizes que consideram os termos 
independentes das equações. Os sistemas lineares são classificados como 
normais quando o número de coeficientes é o mesmo que o número de 
incógnitas. Além disso, quando o determinante da matriz incompleta desse 
sistema não é igual a zero. 
 
• Sistema de equações lineares utilizando escalonamento 
Para escalonar um sistema linear, resolvê-lo e depois classificá-lo, alguns 
procedimentos podem ser feitos: 
T1: um sistema de equações não se altera, quando permutamos as 
posições de duas equações quaisquer do sistema. 
 Estudo dirigido I 32 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
T2: um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos 
os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real 
não nulo. 
T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos 
uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro 
desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2. 
Se no processo de escalonamento, obtivermos uma equação com todos 
os coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, esta equação é 
suficiente para se afirmar que o sistema é impossível, isto é, tem S = ø. 
Se no processo de escalonamento, obtivermos uma equação com todos 
os coeficientes nulos e o termo independente igual a zero, esta equação poderá 
ser eliminada. E todos os termos de números reais são soluções, ou 
seja, sistema indeterminado. 
 
• Discussão de um sistema linear 
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: 
a) possível e determinado, se 𝐷 = det 𝐴 ≠ 0; caso em que a solução 
é única. 
Ex.: 
{
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
 
𝐷 = |
1 −1 1
2 1 −1
3 −1 2
| = 3 ≠ 0 
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. 
 
b) Se 𝑫 = 𝑫𝒙𝟏 = 𝑫𝒙𝟐 = 𝑫𝒙𝟑 = ⋯ = 𝑫𝒏𝒙 = 𝟎, para 𝒏 = 𝟐. Se 𝒏 ≥ 𝟑, 
essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das 
incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-
 Estudo dirigido I 33 
 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, Álgebra Linear – Engenharia Civil, UNIFAVIP – 2020. 
proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas 
soluções. 
Ex.: 
{
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1
−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2
−𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = −1
 
𝑫 = 𝟎,𝑫𝒙 = 𝟎,𝑫𝒚 = 𝟎 e 𝑫𝒛 = 𝟎 
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. 
 
c) Se 𝑫 = 𝟎 𝒆 ∃ 𝑫𝒙𝒊 ≠ 𝟎, 𝟏 ≤ 𝒊 ≤ 𝒏; caso em que o sistema não tem 
solução. 
Ex.: 
{
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 4
3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0
 
 
𝐷 = |
1 2 1
2 1 −3
3 3 −2
| = 0 𝐷𝑥 = |
1 2 1
4 1 −3
0 3 −2
| = 35 ≠ 0