Para analisar a transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) definida por \( T(x,y,z) = (2x,z,y) \), precisamos verificar algumas propriedades. 1. Linearidade: Uma transformação é linear se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade. Ou seja, para \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) e \( T(cu) = cT(u) \) para todos \( u, v \in \mathbb{R}^3 \) e \( c \in \mathbb{R} \). 2. Matriz associada: A matriz associada à transformação pode ser encontrada considerando a imagem dos vetores canônicos: - \( T(1,0,0) = (2,0,0) \) - \( T(0,1,0) = (0,0,1) \) - \( T(0,0,1) = (0,1,0) \) Assim, a matriz associada a \( T \) é: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] 3. Determinante: O determinante da matriz \( A \) pode ser calculado para verificar se a transformação é injetora ou sobrejetora. O determinante é \( 2 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = -2 \), que é diferente de zero, indicando que a transformação é invertível. Com base nessas informações, a afirmação correta sobre a transformação \( T \) é que ela é uma transformação linear e invertível. Se você tiver opções específicas, posso ajudar a identificar a correta!