6. Suponha que a posição de duas part́ıculas no instante t seja dada por σ(t) = (2 sec t, 2 tg t), 0 ≤ t < π/2 e α(t) = (5 cos t, 3 sen t), 0 ≤ t...

6. Suponha que a posição de duas part́ıculas no instante t seja dada por σ(t) = (2 sec t, 2 tg t), 0 ≤ t < π/2 e α(t) = (5 cos t, 3 sen t), 0 ≤ t ≤ 2π, respectivamente.
(a) Ache as equações cartesianas das duas trajetórias;
(b) Trace as trajetórias de ambas as part́ıculas;
(c) Quantos pontos de interseção existem?;
(d) Essas part́ıculas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre
os pontos de colisão. Se não, justifique porque.

(a) A primeira trajetória tem equação cartesiana
x2 − y2 = 4, x > 0, y ≥ 0;
A segunda trajetória tem equação cartesiana
x2
25
+
y29
= 1;
(b) A primeira trajetória é um arco de uma hipérbole intersectando o eixo x no ponto
(2, 0) e contida no primeiro quadrante.
A segunda trajetória é a elipse com centro no ponto (0, 0) e que intersecta o eixo x
nos pontos (−5, 0) e (5, 0) e o eixo y nos pontos (0,−3) e (0, 3);
(c) Apenas um ponto;
(d) Não. Repare que 2 sec t = 5 cos t se e somente se cos2 t = 2/5.
Repare que 2 tg t = 3 sen t se e somente se sen t = 0 ou cos t = 2/3.