Lista_exercicios_curvas_2020_1

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Matemática
Exerćıcios de curvas parametrizadas - Mônica Merkle
1. Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a
curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
(a) x(t) = sen t, y(t) = cossec t, 0 < t < π/2;
(b) x(θ) = sec θ, y(s) = tg θ, −π/2 < θ < π/2;
(c) x(s) = ln s, y(s) =
√
s, s ≥ 1;
(d) x(t) = cos2 t, y(t) = sen 2t, 0 < t < π/2.
Respostas:
(a) A porção da hipérbole y = 1/x, 0 < x < 1 traçada no sentido de crescimento da
coordenada x;
(b) A porção da hipérbole x2 − y2 = 1, x > 0 traçada no sentido de crescimento da
coordenada y;
(c) A porção da curva exponencial y = ex/2, x ≥ 0 traçada no sentido de crescimento da
coordenada x;
(d) A porção da reta x + y = 1, 0 < x, y < 1 traçada no sentido de crescimento da
coordenada y.
2. Dê uma parametrização da curva.
(a) Um arco do ćırculo x2 + y2 = 4 ligando os pontos P = (
√
3, 1) e Q = (−
√
2,
√
2);
(b) A reta
x− 2
1
=
y + 3
2
=
z − 4
3
;
(c) O ćırculo (x+ 1)2 + (y − 5)2 = 4;
(d) O segmento de reta ligando os pontos P = (1,−2, 3) e Q = (4, 6, 3);
(e) A elipse 9x2 + 18x+ 4y2 − 16y = 11;
(f) A parábola com vértice (−2,−1), foco (−5,−1) e diretriz x = 1.
Respostas:
(a) σ(t) = (2 cos t, 2 sen t), t ∈ [π/6, 3π/4];
(b) σ(t) = (2,−3, 4) + t(1, 2, 3) = (2 + t,−3 + 2t, 4 + 3t), t ∈ IR;
(c) σ(t) = (−1 + 2 cos t, 5 + 2 sen t), t ∈ [0, 2π];
(d) σ(t) = (1− t)P + tQ = (1 + 3t,−2 + 8t, 3), t ∈ [0, 1];
(e) Trata-se da elipse
(x+ 1)2
4
+
(y − 2)2
9
= 1. Uma parametrização é
σ(t) = (−1 + 2 cos t, 2 + 3 sen t), t ∈ [0, 2π];
(f) Trata-se da parábola (x+ 2) = −(y + 1)
2
12
. Uma parametrização é
σ(t) =
(
−2− (t+ 1)
2
12
, t
)
, t ∈ IR.
3. Seja P um ponto a uma distância d do centro de uma roda de raio r, que gira sem deslizar
sobre o eixo x. Reproduzindo o esquema que usamos para parametrizar a cicloide (caso
em que d = r), mostre que a curva descrita pelo ponto P , chamada trocoide tem equações
paramétricas
x(θ) = rθ − d sen θ, y(θ) = r − d cos θ, θ ∈ IR.
4. Seja C a curva com equações paramétricas
x(t) = 1 + 2 ln(1 + t), y(t) = 1 + (1 + t)2, t > −1.
(a) Determine uma parametrização da reta tangente à curva C no ponto (1, 2);
(b) Determine uma parametrização da reta normal à curva C no ponto (1, 2);
(c) Calcule dy/dx sem usar a equação cartesiana de C;
(d) Esboce a curva.
Respostas:
(a) Reta tangente: σ(t) = (1, 2) + t(2, 2) = (1 + 2t, 2 + 2t), t ∈ IR;
(b) Reta normal: σ(t) = (1, 2) + t(2,−2) = (1 + 2t, 2− 2t), t ∈ IR;
(c)
dy
dx
= (1 + t)2, t > −1;
(d) A curva exponencial y = 1 + ex−1, x ∈ IR.
5. Uma part́ıcula se move ao longo de uma curva σ(t) = (x(t), y(t)).
(a) Ache a expressão do vetor velocidade V (t);
(b) Se o vetor velocidade é dado por V (t) =
(
1,
sen t
t2
+
2 cos t
t3
)
, t > 0, determine a
posição da part́ıcula em cada instante.
(c) Se a part́ıcula, no instante t = 2, passa pelo ponto P2 = (3, 1), determine os valores
das constantes que aparecem no item anterior.
Respostas:
(a) O vetor velocidade é V (t) = σ′(t) = (x′(t), y′(t));
(b) Igualando as coordenadas do vetor velocidade obtemos:
i. A equação diferencial x′(t) = 1; logo x(t) = t+ C1;
ii. A equação diferencial y′(t) =
sen t
t2
+
2 cos t
t3
; logo
y(t) =
− cos t
t2
+ C2;
2
Logo a posição da part́ıcula em cada instante é
σ(t) =
(
t+ C1,
− cos t
t2
+ C2
)
, t > 0;
(c) Substituindo t = 2 obtemos que C1 = 1 e C2 =
4 + cos 2
4
.
6. Suponha que a posição de duas part́ıculas no instante t seja dada por σ(t) = (2 sec t, 2 tg t),
0 ≤ t < π/2 e α(t) = (5 cos t, 3 sen t), 0 ≤ t ≤ 2π, respectivamente.
(a) Ache as equações cartesianas das duas trajetórias;
(b) Trace as trajetórias de ambas as part́ıculas;
(c) Quantos pontos de interseção existem?
(d) Essas part́ıculas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se sim, encontre
os pontos de colisão. Se não, justifique porque.
Respostas:
(a) A primeira trajetória tem equação cartesiana
x2 − y2 = 4, x > 0, y ≥ 0;
A segunda trajetória tem equação cartesiana
x2
25
+
y2
9
= 1;
(b) A primeira trajetória é um arco de uma hipérbole intersectando o eixo x no ponto
(2, 0) e contida no primeiro quadrante.
A segunda trajetória é a elipse com centro no ponto (0, 0) e que intersecta o eixo x
nos pontos (−5, 0) e (5, 0) e o eixo y nos pontos (0,−3) e (0, 3);
(c) Apenas um ponto;
(d) Não. Repare que 2 sec t = 5 cos t se e somente se cos2 t = 2/5.
Repare que 2 tg t = 3 sen t se e somente se sen t = 0 ou cos t = 2/3.
7. Considere a curva espacial (espiral) parametrizada por γ(t) = (e−t cos t, e−t sen t, e−t),
t ∈ IR.
(a) Calcule o comprimento de arco entre γ(0) e γ(t), para t > 0.
(b) Mostre que o comprimento do arco entre γ(0) e γ(t) tem um limite finito quando
t→ +∞.
Respostas:
(a) O comprimento de arco pedido é∫ t
0
√
3e−u du = −
√
3e−t +
√
3;
(b) O limite do comprimento quando t tende a infinito é
√
3.
3