Determine o comprimento do arco da curva dada por Y= √(X^(3 )-9) no intervalo [0,3].

Para determinar o comprimento do arco da curva dada por \( Y = \sqrt{X^3 - 9} \) no intervalo \([0, 3]\), utilizamos a fórmula do comprimento do arco: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] 1. Encontrar \(\frac{dy}{dx}\): Primeiro, precisamos calcular a derivada de \( Y \) em relação a \( X \): \[ Y = (X^3 - 9)^{1/2} \] Usando a regra da cadeia: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(X^3 - 9)^{-1/2} \cdot 3X^2 = \frac{3X^2}{2\sqrt{X^3 - 9}} \] 2. Substituir na fórmula do comprimento do arco: Agora, substituímos \(\frac{dy}{dx}\) na fórmula do comprimento do arco: \[ L = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + \left(\frac{3X^2}{2\sqrt{X^3 - 9}}\right)^2} \, dx \] 3. Simplificar a expressão: Precisamos simplificar a expressão dentro da raiz: \[ L = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + \frac{9X^4}{4(X^3 - 9)}} \, dx \] Isso pode ser complicado, e é importante notar que a função \( Y \) não é real para \( X < 3 \) (pois \( X^3 - 9 < 0 \)). Portanto, o intervalo \([0, 3]\) não é válido para o cálculo do comprimento do arco. 4. Conclusão: O comprimento do arco não pode ser calculado no intervalo \([0, 3]\) porque a função não é definida nesse intervalo. O intervalo correto deve ser \([3, b]\), onde \( b \) é um valor maior que 3, se você quiser calcular o comprimento do arco. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!