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Para determinar a equação da reta tangente à curva \(y = e^x\) no ponto (0,1), primeiro calculamos a derivada da função \(y = e^x\), que é \(y' = e^x\). Em seguida, substituímos o valor de x = 0 na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente. Portanto, a inclinação da reta tangente é \(m = e^0 = 1\). Assim, a equação da reta tangente é dada por \(y - y_1 = m(x - x_1)\), onde \((x_1, y_1)\) é o ponto dado (0,1) e \(m\) é a inclinação da reta tangente. Substituindo os valores, obtemos: \(y - 1 = 1(x - 0)\) \(y - 1 = x\) Portanto, a equação da reta tangente à curva \(y = e^x\) no ponto (0,1) é \(y = x + 1\).
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- O volume do sólido limitado pelos planos x = 0, x = 2, y = 0, y = 4, z = 0 e z = 4 – y é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 8
e) 16
- A hessiana da função f, dada por ( )f x y x y² ²= 3 , é:
a) ( )H x y x y= −108 2 2
b) ( )H x y x y= 36 2 2
c) ( )H x y x y=108 2 2
d) ( )H x y x y...
- Determine o vetor gradiente da função f dada por ( )f x y x y x y = + + 2 2.
a) ∇ ( ) = +f x y xy i x yj6 62 2
b) y∇ ( ) = +f x xyi xyj12 12
c) ∇ ...
- O ponto crítico da função f, dada por ( )f x y x y x y xy= − − + +2 2 3 22 2 , é:
a) (0,0)
b) 10/17, 11/17
c) -10/17, 9/17
d) (-1,0)
e) (1,0)
- 1. O vetor gradiente é ortogonal às curvas de nível.
2. O vetor gradiente sempre aponta para a direção de maior crescimento da função.
3. O negativ...
- Calcule a derivada direcional de ( )f x y x, = ( )xycos na direção do versor = −u i j3 2 1 2 .
a) ( )D f x y x x y x yx xu , cos cos= − ( ) + ( )...
- Calcule a derivada direcional de ( )f x y x y, 2 2= 3 na direção do versor =−u i j+ 1 2 3 2.
a) ( )D f x y xy x yu , = +6 62 2.
b) ( )D f x y xy x...
- 3. A derivada parcial de segunda ordem fxx da função f (x,y) = x²sen²y no ponto (0,π) é:
a) -2.
b) -1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
- 2. A derivada parcial em relação a y da função f (x,y) = 4x2y2 – xy no ponto (1,1) é:
a) -1.
b) 0.
c) 7.
d) 5.
e) 4.
- 1. A derivada parcial em relação a x da função f (x,y) = 3xy – 4x2 no ponto (1,1) é:
a) -8.
b) -5.
c) -1.
d) 0.
e) 3.
- Calcule as derivadas de segunda ordem dos exemplos anteriores:
a) ( ) = +f x y x xy y, +2 22 .
b) ( )f x y xy, cos= ( ).
c) ( )f x y ex y, = +2 2.
- Para cada função f, calcule as derivadas parciais f x e f y.
a) f (x,y) = x2 + 2xy + y2.
b) f (x,y) = cos (xy).
c) f (x,y) = ex^2 + y^2.
d) f x y ...
- As curvas de nível das superfícies z = 2x + 3y são:
a) Retas.
b) Parábolas.
c) Senoidais.
d) Circunferências.
e) Elipses.
