Problemas de Cálculo Diferencial e Integral

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Explicação: Utilizamos a regra de L'Hôpital para lidar com formas indeterminadas. 
 
34. Problema: Determine a derivada segunda da função \( f(x) = \sin(2x) \). 
 Resolução: Derivamos \( f(x) \) duas vezes para encontrar a segunda derivada. 
 Explicação: Aplicamos as regras de derivação duas vezes para encontrar a segunda 
derivada. 
 
35. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \ln(x) \) e \( y = e^x \) 
no intervalo \( 1 \leq x \leq 2 \). 
 Resolução: Calculamos a diferença entre as duas funções e integramos no intervalo 
dado. 
 Explicação: Utilizamos a técnica de integração para encontrar a área entre as duas 
curvas. 
 
36. Problema: Determine os pontos de interseção das curvas \( y = x^2 \) e \( y = e^x \). 
 Resolução: Igualamos as duas equações e resolvemos para \( x \) e \( y \). 
 Explicação: Encontramos os pontos onde as duas curvas se encontram. 
 
37. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} (2\sin(x) + 3\cos(x)) \, dx \). 
 Resolução: Integramos a função e aplicamos os limites de integração. 
 Explicação: Usamos a propriedade da integral definida para calcular a área sob a curva 
no intervalo dado. 
 
38. Problema: Determine a derivada da função \( f(x) = \ln(2x) \). 
 Resolução: Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função. 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função. 
 
39. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^2} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. 
 Explicação: Aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada da função. 
 
40. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto \( (0,1) 
\).