12. Calcule o volume limitado pela superf́ıcie gerada pelo gráfico da função f (x) = x^(-2/3), para x ≥ 1, e a área que a recobre, se posśıvel...

Para calcular o volume limitado pela superfície gerada pelo gráfico da função f(x) = x^(-2/3), para x ≥ 1, e a área que a recobre, podemos utilizar o conceito de integração. Primeiro, vamos calcular a área que a função recobre. Para isso, integramos a função f(x) no intervalo de x = 1 a x = +∞. A área é dada por: A = ∫[1,+∞] f(x) dx A integral de f(x) = x^(-2/3) é dada por: ∫[1,+∞] x^(-2/3) dx = 3x^(1/3) / (1/3) | [1,+∞] = 9x^(1/3) | [1,+∞] = 9∞^(1/3) - 9(1)^(1/3) = 9∞^(1/3) - 9 Como x tende ao infinito, temos que a área é infinita. Agora, para calcular o volume limitado pela superfície gerada pela função f(x), podemos utilizar o método de revolução em torno do eixo x. O volume é dado por: V = ∫[1,+∞] π[f(x)]^2 dx Substituindo f(x) = x^(-2/3), temos: V = ∫[1,+∞] π[x^(-2/3)]^2 dx = ∫[1,+∞] πx^(-4/3) dx A integral de x^(-4/3) é dada por: ∫[1,+∞] x^(-4/3) dx = 3x^(-1/3) / (1/3) | [1,+∞] = 9x^(-1/3) | [1,+∞] = 9(1)^(1/3) - 9∞^(1/3) = 9 - 9∞^(1/3) Como x tende ao infinito, temos que o volume também é infinito. Portanto, o volume limitado pela superfície gerada pelo gráfico da função f(x) = x^(-2/3), para x ≥ 1, é infinito, assim como a área que a recobre.