Problema: Determine a derivada direcional da função f(x,y) = 3x^2 - 2y^2 no ponto (1,2) na direção do vetor <1, 1>.

Para determinar a derivada direcional da função \( f(x, y) = 3x^2 - 2y^2 \) no ponto (1,2) na direção do vetor <1, 1>, podemos usar a fórmula: \[ D_{\vec{v}}f(a,b) = \nabla f(a,b) \cdot \frac{\vec{v}}{\lVert \vec{v} \rVert} \] Primeiro, calculamos o gradiente de f(x, y): \[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] \[ \nabla f(x, y) = (6x, -4y) \] Agora, no ponto (1,2): \[ \nabla f(1, 2) = (6, -8) \] O vetor unitário na direção de <1, 1> é \( \frac{1}{\sqrt{2}} <1, 1> = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \). Então, a derivada direcional de f(x, y) = 3x^2 - 2y^2 no ponto (1,2) na direção do vetor <1, 1> é: \[ D_{\vec{v}}f(1,2) = \nabla f(1,2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \] \[ D_{\vec{v}}f(1,2) = (6, -8) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \] \[ D_{\vec{v}}f(1,2) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ D_{\vec{v}}f(1,2) = \frac{6 - 8}{\sqrt{2}} \] \[ D_{\vec{v}}f(1,2) = \frac{-2}{\sqrt{2}} \] Portanto, a derivada direcional de f(x, y) = 3x^2 - 2y^2 no ponto (1,2) na direção do vetor <1, 1> é \( \frac{-2}{\sqrt{2}} \).