Questão resolvida - Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão_ S(x,y,z) R_ 3x y - z 0 - Álgebra Linear

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Determine uma base para o espaço vetorial e sua dimensão: H
H = x, y, z ∈ R : 3x + y - z = 0( ) 3
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos isolar o na lei de formação do espaço ;y H
 
 3x + y - z = 0 y = -3x + z→
 
Com isso, um vetor no espaço vetorial pode ser dado por;H
 
x, y, z = x, -3x + z, z( ) ( )
 
Usando propriedades vetoriais, podemos reescrever o resultado de 1 como;
 
x, y, y - x = x, -3x, 0 + 0, z, z( ) ( ) ( )
 
Colocando e em evidência no resultado do segundo membro de 2, temos que;x z
 
x, -3x, 0 + 0, z, z = x 1, -3, 0 + z 0, 1, 1( ) ( ) ( ) ( )
 
Veja que no segundo membro resultado de 3 (acima) formamos 2 vetores:
 
1, -3, 0 e 0, 1, 1( ) ( )
 
Esses vetores são linearmente independentes (L.I.), já que não há escalar que faça um 𝜆
dos vetores ser escrito como combinação linear do outro;
 
𝜆 1, -3, 0 = 0, 1, 1 1𝜆, -3𝜆, 0𝜆 = 0, 1, 1( ) ( ) → ( ) ( )
 
 
(1)
(2)
(3)
Então, temos o seguinte sistema;
 
1𝜆 = 0
-3𝜆 = 1
0𝜆 = 1
 
Veja que na terceira equação do sistema a igualdade é impossível, já que não existe 𝜆 ∈ R
que satisfaça tal condição, assim, podemos concluir que o conjunto formado pelos 2 vetores 
é L.I., com isso, esses vetores podem formar uma base para o espaço vetorial ;H
 
B = 1, -3, 0 , 0, 1, 1 de dimensão 2H {( ) ( )}
 
 
(4)
(Resposta)