CÁLCULO IV exercícios 1 ao 5

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CÁLCULO IV
1a aula
	
	 
	
	 
	
	 
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor da integral dupla definida por f(x,y) = 2x - y, sobre a região R, onde esta região é delimitada pela figura em vermelho (interior da figura)
. 
		
	
	33
	
	22
	
	zero
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	 
	33∕2
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem como idéia principal ?
		
	 
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6,  tem como solução e geometricamente define:
		
	
	Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume.
	 
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área.
	
	Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente.
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume.
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Encontre o valor da integral dupla da função f(x,y) = x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1 e classifique o tipo de região utilizado.
		
	
	(-cos 1 - 1) e tipo de região I
	 
	(-1 ∕ 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	(- 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I I
	
	(-1 ∕ 6 ) e tipo de região I
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Se f(x,y) = 1 - x e a região de integração é definida por R = [0,1] x [0,1]. Defina a integral dupla e seu resultado.
		
	
	​∫10∫10xdxdy=2∫01∫01xdxdy=2​
	
	​∫10∫10(1−x)dxdy=3∫01∫01(1−x)dxdy=3​
	 
	∫10∫10(1−x)dxdy=1/2∫01∫01(1−x)dxdy=1/2
	
	​∫10∫10dxdy=1∫01∫01dxdy=1​
	
	​∫10∫10(1−x)dxdy=2∫01∫01(1−x)dxdy=2​
	
Explicação:
∫10∫10(1−x)dxdy=x−(x2/2)=1−1/2=1/2∫01∫01(1−x)dxdy=x−(x2/2)=1−1/2=1/2
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫42∫24 ∫62dydx∫26dydx
		
	
	12
	
	7
	
	5
	 
	8
	
	6
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2]
		
	
	8
	 
	(-e + e -1) (pi2/8)
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	1
	
	zero
		CÁLCULO IV
2a aula
	
	 
	
	 
	 1a Questão
	
	
	
	
	Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
		
	 
	35/4
	
	35/3
	
	35/6
	
	7
	
	35/2
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
		
	
	5 u.v
	
	10 u.v
	 
	1 u.v
	
	9 u.v
	
	4 u.v
	
Explicação:
Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D.
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Utilizando a definição dada temos ​∫10∫102−x−ydxdy∫01∫012−x−ydxdy​
∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1∫012x−x2/2−xydy=∫01(3/2)−ydy=1
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x  está no intervalo 1≤x≤41≤x≤4  e y esta no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 . Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no 1≤x≤41≤x≤4  e  1≤y≤21≤y≤2 . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no intevalo dado ?
		
	
	A integral tem como resultado 1 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 4
	
	A integral tem como resultado 4 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,5]x[1,2] e altura k = 4
	
	A integral tem como resultado 5 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,1] e altura k = 6
	
	A integral tem como resultado 2 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,1]x[1,2] e altura k = 2
	 
	A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 1
	 4a Questão
	
		
Explicação:
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x varia 1≤x≤41≤x≤4  e y varia no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 e especificar para turma o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy:
∫21∫411dxdy=∫21xdy∫12∫141dxdy=∫12xdy Passando os limites de integração de x temos ∫21xdy=∫21(4−1)dy=∫213dy=3∫21dy∫12xdy=∫12(4−1)dy=∫123dy=3∫12dy
3∫21dy=3y3∫12dy=3y Passando os limites de integração de y teremos  3 ( 2-1) = 3
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = f(x,y) = 1
	
	
	
	
	Aplicando a teoria de integral dupla na função f(x,y) = ∫ ∫ (1 - x)dxdy, definida em R= [0.1] x [0,1] podemos encontrar:
		
	
	2
	 
	1/2
	
	3
	
	1
	
	4
	
Explicação:
∫10∫101−xdxdy=∫10x−x22dy∫01∫011−xdxdy=∫01x−x22dy
∫1012dy=12y∫0112dy=12y
que aplicando o intervalo 0 a 1 temos como resultado 1/2
	
	
	 5a Questão
	
	
	Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.
		
	
	22
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	56
	
	30
	 
	36
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 - y2  e acima do plano z = 0. Qual foi o volume encontrado pelo engenheiro supondo que seus cálculos estão corretos.
		
	
	3π53π5
	 
	8π8π
	 
	​2π32π3​
	
	2 ππ
	
	​7π37π3​
	
Explicação:
​O domínio D interior a interseção  de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0​ entao temos 0 = 4 - x2 - y2  ou   x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. OBS: Esse exercicio pode ser feito por integral tripla também.
V = ∫∫4−x2−y2dxdy=∫2π0∫20(4−r2)rdrdθ∫∫4−x2−y2dxdy=∫02π∫02(4−r2)rdrdθ
(4r22−r44)|20θ|2π0=8π(4r22−r44)|02θ|02π=8π
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Maria precisa apresentar a resolução correta da integral dupla da função f(x,y) = xy + x2 em relação as variáveis x e y definida na região R= [0.1] x [0,1], ou seja, ∫10∫10(xy+x2)dxdy∫01∫01(xy+x2)dxdy. Qual o resultado encontrado por Maria.
		
	
	6/12
	
	9/12
	
	5/12
	
	8/12
	 
	7/12Explicação:
Maria precisa apresentar a resolução correta da integral dupla da função f(x,y) = xy + x2 em relação as variáveis x e y definida na região R= [0.1] x [0,1], ou seja, ∫10∫10(xy+x2)dxdy∫01∫01(xy+x2)dxdy. Qual o resultado encontrado por Maria.
∫10∫10(xy+x2)dxdy=∫10(x22y+x33)dy∫01∫01(xy+x2)dxdy=∫01(x22y+x33)dy Passando o limite de x teremos
∫10(x22y+x33)dy=∫10(12y+13)dy=∫01(x22y+x33)dy=∫01(12y+13)dy=
∫10(12y+13)dy=(12y22+13y)∫01(12y+13)dy=(12y22+13y) Passando os limite de integracao de y teremos
(12y22+13y)=(12122+13)(12y22+13y)=(12122+13)
(12122+13)=14+13=712(12122+13)=14+13=712
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Calcular o volume do sólido:∫10∫01 ∫1−z0∫01-z ∫20∫02 dxdydz.
		
	
	1.5
	
	3
	 
	1
	
	2
	
	2.5
		CÁLCULO IV
3a aula
		
	 
	 
	 
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
		
	
	Volume 4 u.v
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Volume 2 u.v
	 
	Volume 1/3 u.v
	
	Volume 3 u.v
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao
- 1 ≤ x ≤ 2,  0 ≤ y  ≤ 1 e 1 ≤  z ≤ 2.
		
	
	8
	
	Nenhuma das resposta anteriores
	
	4
	
	9
	 
	9/8
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2  esta definida em R = [0,1] x[0,1].
		
	 
	2/3
	
	1/3
	
	2
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	3
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	O ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como:
		
	
	(2, pi/2; 1)
	 
	(1, pi/2; 2)
	
	(1, pi/2; -2)
	
	(2, pi/2; 2)
	
	(1, 3pi/2; 2)
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Paulo precisa apresentar a integral multipla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] aos colegas de classe. Qual o resultado encontrado por Paulo ao desenvolver a integral multipla ?
		
	 
	7/12
	
	10/12
	
	5/12
	
	8/12
	
	9/12
	
Explicação:
A integral dupla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] é igual a :
A primeira integral ficaria (x2 / 2 ) y + (x3 / 3)  com os limites de x de 0 a 1 :  (1/2) y + 1/3
∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz Passando o limite de y de 0 a 1 temos
∫∫1212+13dz=(14+13)z∫∫1212+13dz=(14+13)z Passando o limite de z de 0 a 1 temos
(14+13)=712(14+13)=712
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydz
		
	
	-7/4
	
	7/4
	 
	27/4
	
	4/27
	
	-27/4
	
Explicação:
Integral tripla resolvida pelo Método de Fubini.
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
		
	
	110
	
	115
	
	120
	
	105
	 
	125
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração são definidos como 1≤x≤41≤x≤4,   1≤y≤21≤y≤2,  1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ?
		
	
	3
	 
	6
	
	4
	
	2
	
	5
	
Explicação:
Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração são 1≤x≤41≤x≤4 ,   1≤y≤21≤y≤2,  1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ?
∫21∫21∫412dxdydz∫12∫12∫142dxdydz
2∫21∫21x|41dydz=2∫21∫213dydz=6∫21∫21dydz2∫12∫12x|14dydz=2∫12∫123dydz=6∫12∫12dydz
6∫21∫21dydz=6∫21y|21dz=6∫21(2−1)dz6∫12∫12dydz=6∫12y|12dz=6∫12(2−1)dz
6∫21(2−1)dz=6∫21dz=6z|21=6(2−1)=6
		CÁLCULO IV
4a aula
	
	 
	
	 
	 1a Questão
	
	
	
	
	A integral de linha ∫(2x + y) dx − (x − 4xy) dy no circulo x²+y²= 1, percorrido (uma vez) em sentido anti-horário satisfaz as condições do Teorema de Green. Portanto ao aplicar o teorema encontraremos:
		
	
	-2π
	
	0
	
	4π
	 
	-4π
	
	2π
	
Explicação:
P(x,y) = 2x + y e Q(x,y) = - x + 4xy sao funçoes diferenciáveis em R2 e C é o bordo positivamente orientado de S = { (x,y)| x2 +y2  < = 1} entao podemos aplicar o Teorema de Green (satisfaz as condições do Teorema de Green).
∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy
aplicando as coordenadas polares  ∫2pi0∫10(4rsenθ−2)drdθ∫02pi∫01(4rsenθ−2)drdθ
= 4 int10r2dr∫2pi0senθdθ−2∫10rdr∫2pi0dθ=−4pi4 int01r2dr∫02pisenθdθ−2∫01rdr∫02pidθ=−4pi
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Um  homem dirigi em um estrada γγ. Supondo que a estrada percorrida é definida pela integral abaixo sendo γγ o arco da parábola y=x2y=x2 da origem ao ponto A(2,4). Determine o valor da integral.
∫γxy2dx∫γxy2dx
		
	
	34
	
	33
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	24/5
	 
	32/3
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a intergral é definida na interseção do cone z = (x2+ y2)1/2 com o plano z = 2.
		
	
	pi
	 
	8 pi
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	5 pi
	
	4 pi
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Seja f:R3→Rf:R3→R definida por f(x,y,z)=x+3y2+zf(x,y,z)=x+3y2+z  e  ττ o segmento de reta que une (0,0,0)(0,0,0) e (1,1,1)(1,1,1). Calcule ∫τfds∫τfds
Sugestão: Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t)r(t)=(t,t,t), t∈[0,1]t∈[0,1] .
		
	
	4√343
	
	√55
	
	√33
	
	3√232
	 
	2√323
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine a integral de linha sendo γγ o segmento de reta da origem A(1,1) a extremidade B(4,2).
∫γ(x+y)dx+(y−x)dy∫γ(x+y)dx+(y-x)dy
		
	
	10
	
	5
	
	5/4
	 
	11
	
	2/5
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral de linha da forma diferencial x2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1).
		
	
	7/3
	
	3/5
	
	4/7
	
	7
	 
	2/5
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral de linha ʃ F.dr, onde F(x,y,z) = (x,y,z), e C é a curva parametrizada por (sen t, cos t , t), 0 ≤ t ≤ 2 ππ
		
	
	Será 3 ππ + 1
	
	Será ππ
	
	Será 3 ππ
	
	Será 4
	 
	Será 2 ππ 2
		CÁLCULO IV
5a aula
	
	 
	
	 
	
	 
	 1a Questão
	
	
	
	
	    
Calcule a integral ∫C(x+2y)dS∫C(x+2y)dS  onde C é uma semicircunferência
centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo.  
		
	
	45
	
	10
	 
	36
	
	25
	
	18
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral ∮Cx2ydx−y2xdy∮Cx2ydx-y2xdy em que C é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x2 + y2 = 16.
		
	
	20π20π
	
	18π18π
	 
	−32π-32π
	
	−16π-16π
	
	32π32π
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
→F(x,y)=−3y5→i+5y2x3→jF→(x,y)=-3y5i→+5y2x3j→   para mover uma partícula ao longo
 da circunferência x2 + y2 = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este
 ponto apenas uma vez.
		
	
	180π180π
	 
	160π160π
	
	90π90π
	
	150π150π
	
	70π70π
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Encontrar o volume do tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-xF(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
		
	
	7/6
	
	2/3
	
	5/6
	
	1/2
	 
	1/6
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1].
		
	
	15(u.v.)
	
	21(u.v.)
	
	17(u.v.)
	 
	8(u.v.)
	
	2(u.v.)
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule ∫CxzdS∫CxzdS , onde C é a interseção da esfera  x² + y² + z² = 4
com o plano x = y.
		
	
	16
	
	10
	
	√88
	 
	0
	
	√66
	
	
	 
	 7a Questão
	
	
	
	
	Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação  f(x,y) =  e(x+2y) dxdy, para os intervalos
R= [0,1]x[0,3].
		
	 
	1/2(e-1)(e6e6-1)
	
	(e-1)(e6e6-1)
	
	-1/2(e-1)(e6e6-1)
	
	1/2(e6e6-1)
	
	1/2(e-1)
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral dupla:
∫42∫24 ∫21∫12 (x2x2 + y2y2) dydx
		
	
	70/13
	
	70/15
	
	70/1170/9
	 
	70/3