Para calcular a integral de linha do campo vetorial \( F(x, y) = (x^2 - 2y, x^3 + y) \) do ponto \( (0,0) \) ao ponto \( (1,1) \) ao longo do segmento de reta \( y = x \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Parametrização da curva: Como estamos integrando ao longo da reta \( y = x \), podemos parametrizar a curva como: \[ \mathbf{r}(t) = (t, t) \quad \text{para } t \in [0, 1] \] 2. Cálculo do vetor diferencial: O vetor diferencial \( d\mathbf{r} \) é dado por: \[ d\mathbf{r} = (dx, dy) = (dt, dt) = (1, 1) dt \] 3. Substituição no campo vetorial: Agora, substituímos \( x \) e \( y \) na função \( F \): \[ F(t, t) = (t^2 - 2t, t^3 + t) \] 4. Cálculo do produto escalar: Precisamos calcular o produto escalar \( F(t, t) \cdot d\mathbf{r} \): \[ F(t, t) \cdot d\mathbf{r} = (t^2 - 2t, t^3 + t) \cdot (1, 1) = (t^2 - 2t) + (t^3 + t) = t^3 + t^2 - t \] 5. Integral de linha: Agora, integramos de \( t = 0 \) a \( t = 1 \): \[ \int_0^1 (t^3 + t^2 - t) dt \] Calculando a integral: \[ \int_0^1 (t^3 + t^2 - t) dt = \left[ \frac{t^4}{4} + \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) \] Para somar, precisamos de um denominador comum, que é 12: \[ = \left( \frac{3}{12} + \frac{4}{12} - \frac{6}{12} \right) = \frac{3 + 4 - 6}{12} = \frac{1}{12} \] Portanto, a integral de linha do campo vetorial \( F \) do ponto \( (0,0) \) ao ponto \( (1,1) \) ao longo do segmento de reta \( y = x \) é \( \frac{1}{12} \). A alternativa correta é: 1/12.