Para resolver a integral dada, precisamos entender a região de integração. O sólido está contido na interseção do cilindro \(x^2 + y^2 = 1\) e as condições \(0 < z < 2\) com \(x \geq 0\) e \(y \geq 0\). Isso significa que estamos lidando com um quarto do cilindro, limitado entre \(z = 0\) e \(z = 2\). A função a ser integrada é \(3(x+y)\). Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Em coordenadas cilíndricas, temos: - \(x = r \cos(\theta)\) - \(y = r \sin(\theta)\) - \(z = z\) onde \(r\) varia de \(0\) a \(1\) (raio do cilindro) e \(\theta\) varia de \(0\) a \(\frac{\pi}{2}\) (porque estamos no primeiro quadrante). A integral em coordenadas cilíndricas se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \int_0^2 3(r \cos(\theta) + r \sin(\theta)) \cdot r \, dz \, dr \, d\theta \] Calculando a integral em relação a \(z\): \[ \int_0^2 dz = 2 \] Agora, substituímos isso na integral: \[ 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 3(r \cos(\theta) + r \sin(\theta)) \cdot r \, dr \, d\theta \] Isso se simplifica para: \[ 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 3r^2 (\cos(\theta) + \sin(\theta)) \, dr \, d\theta \] Calculando a integral em relação a \(r\): \[ \int_0^1 3r^2 \, dr = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \] Portanto, temos: \[ 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos(\theta) + \sin(\theta)) \, d\theta \] Agora, calculamos a integral em relação a \(\theta\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(\theta) \, d\theta = 1 \quad \text{e} \quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \, d\theta = 1 \] Assim, temos: \[ 2(1 + 1) = 4 \] Portanto, o valor da integral é \(4\). A alternativa correta é: D 4.