10. O segundo termo de uma PG decrescente é 9/8 e o quarto é 1/2. Calcule o oitavo termo dessa sequência.

Para encontrar o oitavo termo de uma Progressão Geométrica (PG), onde o segundo termo é 9/8 e o quarto termo é 1/2, podemos usar a fórmula geral para o termo de uma PG: \[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \] Onde: - \( a_n \) é o termo que queremos encontrar (oitavo termo) - \( a_1 \) é o primeiro termo da PG - \( r \) é a razão da PG - \( n \) é a posição do termo que queremos encontrar Dado que o segundo termo é 9/8 e o quarto termo é 1/2, podemos encontrar a razão da PG: \[ \frac{a_2}{a_1} = r \] \[ \frac{9/8}{a_1} = r \] \[ r = \frac{9}{8a_1} \] Também sabemos que o quarto termo é \( a_4 = \frac{1}{2} \), então podemos encontrar o primeiro termo da PG: \[ a_4 = a_1 \times r^{(4-1)} \] \[ \frac{1}{2} = a_1 \times \left(\frac{9}{8a_1}\right)^3 \] \[ \frac{1}{2} = a_1 \times \frac{729}{512a_1^3} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{729}{512a_1^2} \] \[ a_1^2 = \frac{729 \times 2}{512} \] \[ a_1^2 = \frac{1458}{512} \] \[ a_1^2 = \frac{729}{256} \] \[ a_1 = \sqrt{\frac{729}{256}} \] \[ a_1 = \frac{27}{16} \] Agora que temos a razão e o primeiro termo, podemos encontrar o oitavo termo: \[ a_8 = \frac{27}{16} \times \left(\frac{9}{8 \times \frac{27}{16}}\right)^7 \] \[ a_8 = \frac{27}{16} \times \left(\frac{9}{27/2}\right)^7 \] \[ a_8 = \frac{27}{16} \times \left(\frac{9 \times 2}{27}\right)^7 \] \[ a_8 = \frac{27}{16} \times \left(\frac{18}{27}\right)^7 \] \[ a_8 = \frac{27}{16} \times \left(\frac{2}{3}\right)^7 \] \[ a_8 = \frac{27}{16} \times \left(\frac{128}{2187}\right) \] \[ a_8 = \frac{27 \times 128}{16 \times 2187} \] \[ a_8 = \frac{3456}{35072} \] \[ a_8 = \frac{432}{4371} \] Portanto, o oitavo termo dessa sequência é \( \frac{432}{4371} \).