Resumo EDO 1º E 2º ORDEM

Prévia do material em texto

Resumo de Equações Diferenciais
EDO – Equação Diferencial Ordinária de 1º Ordem
Forma padrão de uma equação diferencial de 1º ordem: y’ + P(t)y = G(t)
- Quanto a linearidade: Nossa variável dependente (y) tem que ser linear, ou seja, coeficiente depender só da variável independente, ou uma outra constante.
- Homogênea ou Não Homogênea: Iremos analisar a G(t), pois se ela for:
G(t) = 0: é uma equação Homogênea
G (t) ≠ 0: é uma equação Não Homogênea
Métodos para solução para EDO 1° Ordem:
	Separação de Variáveis:
 = g(x)h(y)
Deve-se observar a equação, e após se conseguir separar as variáveis então integramos os dois lados da igualdade.
	Fator Integrante (µ)
Usado para facilitar uma integração:
A + P(x)y=G(x)
A
=1
	Equações Exatas:
f(x,y)dx + f(x,y)dy = 0
M acompanha dx e N acompanha dy. Devemos verificar se realmente a equação é exata, derivando: MY = NX
Assim, podemos resolver de duas formas:
f(x,y) = 
g’(y) = N(x,y) - 
ou
f(x,y) = 
h’(x) = M(x,y) - 
OBS.: Se a equação não for exata, podemos tentar transformar ela, usando o fator integrante:
ou
	Funções com Coeficientes Homogêneos:
Ex: f(x,y) = x²y³ +xy4
Olhando para os coeficientes de cada parte da equação, devemos identificar se os componentes possuem o mesmo grau. Se não possuir, então a equação não é homogênea.
Se for homogênea:
Substituição em y:
 y = ux 
 dy = udx + xdu
Substituição em x:
x = vy
dx = vdy +ydv
	Equação de Bernoulli : EDO NÃO-linear
Ay’ + P(x)y = f(x) yn
n
≠
1 e 0
A=1
w = y1-n
w’+ (1-n)P(x)w = (1-n)f(x)
EDO – Equação Diferencial Ordinária de 2º Ordem
Forma padrão de uma equação diferencial de 2º ordem: y’’ + P(t)y’ + Q(t)y = G(t)
Definições:
L D: Linearmente dependentes
L I: Linearmente Independentes
Métodos de solução para as equações de 2º Ordem:
	Coeficientes Constantes - Equação Homogênea.
Ay’’ + By’’ + Cy = 0
A, B e C devem ser constantes. Equação característica: ar² + br + c = 0
 Achamos duas raízes, vamos analisar elas:
Δ>0 - (r1 ≠r2) - Raízes reais distintas:
Solução Geral: y(t) = C1
Δ=0 (r1 = r2 = r) - Raízes reais e iguais:
Solução Geral: y(t) = C1
Acrescentamos o 
t
 para que ambas fossem linearmente independentes.
Δ<0 - Raízes Complexas
z = r1
z = r2
Solução Geral: y(t)=C1 cos(t) + C2sen (t)]
Coeficientes Indeterminados – Equação NÃO Homogênea
A1(t)y’’ + A2(t)y’+ A3(t)y= G(t)
A g(t) pode ser: polinomial, exponenciais, sem(t) ou cos(t).
Primeiro igualamos a equação a 0 (zero) e resolvemos a parte homogênea, que pode ser por um dos métodos: coeficientes costantes ou cauchy-euler.
Após iremos analisar a G(t) e assim iremos desenvolver uma hipótese para a sua a solução, esta chamada de solução particular.
OBS.: 
As soluções devem ser linearmente independentes 
Quando tivermos soma na G(t), podemos separar em duas equações
Quando tivermos na G(t) uma equação trigonométrica a solução ira ficar da seguinte maneira: yp=(C1sen(t)+C2cos(t))
Solução Geral: y(t) = yh + yp
	Equação de Cauchy-Euler - Equação Homogênea.
As derivadas e os monômios devem ser de mesmo grau. Sendo coeficientes constantes: y=, agora será: y=
Ax²y’’+Bxy’+Cy=G(x)
Equação caracteristica: Am²+(b-a)m+c=0
 Achamos duas raízes, vamos analisar elas:
Δ>0 - (r1 ≠r2) - Raízes reais distintas:
Solução Geral: y(x) = C1+ C2
Δ=0 (m1 = m2 = m) - Raízes reais e iguais:
Solução Geral: C1+ C2ln(x)
Acrescentamos o 
ln(x)
 para que ambas fossem linearmente independentes.
Δ<0 - Raízes Complexas
m = m1
m = m2
Solução Geral: y(t)=C1 cos() + C2sen ()]
Variação de Parâmetros – Equação NÃO Homogênea 
Ay’’+P(t)y’+Q(t)y=G(t)
A=1
Igualamos a equação a 0 (zero) e resolvemos a parte homogênea, que pode ser por um dos métodos: coeficientes constantes ou cauchy-euler. E então, descobrimos o y1 e y2. Após iremos buscar a solução particular.
yp = u1y1+u2y2
Usando o wronskiano:
W = = y1y2’- y1’y2
u1=
u2=
Solução Geral: C1y1+C2y2+yp