2) Considere os conjuntos  X x | x 4   e Y , Y X . O número de conjuntos Y tais que 4 Y e 0 Y é: (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 15 (E) 16

Primeiro, vamos entender o conjunto \( X \). O conjunto \( X \) é definido como \( X = \{ x \,|\, x \leq 4 \} \). Isso significa que \( X \) contém todos os números menores ou iguais a 4. Se considerarmos apenas os números inteiros, temos: \( X = \{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \} \) Agora, precisamos considerar os conjuntos \( Y \) que são subconjuntos de \( X \) e que atendem às condições \( 4 \in Y \) e \( 0 \notin Y \). 1. Como \( 4 \) deve estar em \( Y \), podemos começar com \( Y = \{ 4 \} \) e adicionar outros elementos de \( X \) que não incluam \( 0 \). 2. Os elementos de \( X \) que podemos usar para formar \( Y \) são \( \{ \ldots, -2, -1, 1, 2, 3, 4 \} \) (ou seja, todos os elementos de \( X \) exceto \( 0 \)). 3. Portanto, os elementos que podemos escolher para adicionar a \( Y \) são \( \{ -2, -1, 1, 2, 3 \} \), que totalizam 5 elementos. Para cada um desses 5 elementos, temos duas opções: incluí-lo em \( Y \) ou não incluí-lo. Assim, o número total de subconjuntos \( Y \) que podemos formar é dado por \( 2^n \), onde \( n \) é o número de elementos que podemos escolher. Neste caso, \( n = 5 \), então o número de subconjuntos \( Y \) é: \[ 2^5 = 32 \] No entanto, como já temos \( 4 \) em todos os conjuntos \( Y \) e não podemos incluir \( 0 \), precisamos considerar apenas os subconjuntos que incluem \( 4 \) e não incluem \( 0 \). Portanto, o número de conjuntos \( Y \) que satisfazem as condições é \( 2^5 = 32 \). Entretanto, como estamos considerando apenas os subconjuntos que incluem \( 4 \) e não incluem \( 0 \), precisamos subtrair os casos em que \( 0 \) está presente, mas como \( 0 \) não pode estar presente, não precisamos fazer essa subtração. Assim, a resposta correta é: (E) 16.