Para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial \(y'' - 4y' + 13y = 0\), precisamos encontrar a solução geral da equação característica associada. A equação característica é dada por: \[ r^2 - 4r + 13 = 0 \] Calculando o discriminante: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 \] Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas: \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = 2 \pm 3i \] Assim, a solução geral da equação diferencial é: \[ y(x) = e^{2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \] Agora, precisamos aplicar as condições iniciais \(y(0) = -1\) e \(y'(0) = 2\) para determinar as constantes \(C_1\) e \(C_2\). 1. Aplicando \(y(0) = -1\): \[ y(0) = e^{0}(C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0)) = C_1 = -1 \] 2. Agora, derivamos \(y(x)\): \[ y'(x) = e^{2x}(C_1 \cdot 2 + C_1 \cdot (-3 \sin(3x)) + C_2 \cdot 3 \cos(3x)) \] Substituindo \(x = 0\): \[ y'(0) = 2C_1 + 3C_2 = 2 \] Substituindo \(C_1 = -1\): \[ 2(-1) + 3C_2 = 2 \] \[ -2 + 3C_2 = 2 \] \[ 3C_2 = 4 \] \[ C_2 = \frac{4}{3} \] Portanto, a solução particular é: \[ y(x) = e^{2x}(-\cos(3x) + \frac{4}{3} \sin(3x)) \] Analisando as alternativas, a que corresponde à solução encontrada é: c) \(y = e^{2x}(-\cos(3x) + \frac{4}{3} \sin(3x))\) Portanto, a alternativa correta é a c.