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Matemática

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Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km

Desafios para Aprender

há 2 anos

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há 2 anos

30 pág.

Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razões trigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno

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há 2 anos

Vamos analisar as informações fornecidas: Para encontrar a altura aproximada em que se encontrava o balão, podemos usar trigonometria. A primeira pessoa estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°. A segunda pessoa estava a 5,5 km da posição vertical do balão e a mesma direção da primeira, avistando o balão sob um ângulo de 30°. Usando a tangente, podemos calcular a altura do balão. Para a primeira pessoa: tan(60°) = altura do balão / 1,8 km Para a segunda pessoa: tan(30°) = altura do balão / 5,5 km Calculando esses valores, chegamos a uma altura aproximada de 3,7 km. Portanto, a alternativa correta é: d) 3,7 km

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Na figura abaixo, o círculo de centro O tem raio r e os triângulos ABO e ODC são retângulos. Se a medida dos ângulos agudos COD e OAB é x, o comprimento da linha poligonal ABCDE vale:

a) r(sen x cos x)+
b) 2r
c) r sen x
d) r cos x
e) 2r (cos x sen x)-

O prefeito de uma cidade turística pretende construir um teleférico unindo o parque cultural ao topo de uma montanha de 200 m de altura, como mostra a figura abaixo. Considerando que a plataforma de embarque do teleférico deve estar a uma altura de 5 m do chão e que o pico da montanha possa ser observado sob um ângulo de 30°, determine a distância percorrida pelo teleférico do ponto de embarque ao topo da montanha.

a) 350 m
b) 370 m
c) 390 m
d) 410 m

Em um triângulo isósceles, os lados de mesma medida formam um ângulo de 40° e medem 7 cm cada. Se denotarmos por w a medida, em cm, do terceiro lado do triângulo, é verdade que

a) w sen(20°) = 7
b) w sen(40°) = 7
c) w sen(20°) = 14
d) 2w sen(40°) = 7
e) 2w sen(20°) = 7

Os alunos do 9º ano do CMRJ foram a uma visita ao Palácio Duque de Caxias para, além de conhecer o palácio, executar um trabalho sobre “grandes medições”, solicitado pelo seu professor de Matemática. Os alunos tinham que estimar a altura do prédio da Central do Brasil localizado ao lado do Palácio Duque de Caxias. Para realizar a tarefa, os alunos teriam que fazer a medição de ângulos a partir de três pontos distintos, determinados pelo professor, com o auxílio de um teodolito e utilizar 3√3 em seus cálculos. Observe os resultados obtidos com as três medições descritas a seguir: - a primeira medição foi feita a uma distância de 410 m do prédio, e o topo do prédio foi observado segundo um ângulo de 15°; - a segunda medição foi feita depois de se aproximar do prédio, e o ângulo observado foi o dobro do ângulo da primeira medição; - a terceira medição foi feita depois de se aproximar 84 m do prédio, a partir do ponto da segunda medição, e o ângulo observado foi o triplo do ângulo da primeira medição. A partir desses dados, calcule o valor aproximado da altura do prédio da Central do Brasil.

a) 34 m
b) 48 m
c) 79 m
d) 115 m
e) 121 m

O Hindu Bhaskara, ao demonstrar o Teorema da Pitágoras, utilizou uma figura em que ABCD e EFGH são quadrados, conforme mostrado abaixo. Se este quadrado ABCD tem lado de medida 3 cm e o ângulo ∠ACH mede 60°, então, a área de EFGH, em cm², é

a) 3√3/2
b) 3√3/2
c) 3√3
d) 3√3/2

Camas Hospitalares são móveis de grande importância para o tratamento de enfermos em hospitais, postos de saúde e residências. Elas são produzidas para facilitar os atendimentos e auxiliar na melhora do estado de saúde do paciente. A cama hospitalar manual tem características comuns que são a regulagem de elevação de dorso e a flexão dos joelhos que é feita por manivelas instaladas na parte da peseira da cama, podendo, assim, auxiliar o paciente a ficar na melhor posição possível. A imagem a seguir mostra uma cama hospitalar manual após a realização de dois movimentos: o movimento de elevação da cabeceira e o movimento de flexão dos joelhos. Se AB = EF = 0,6 m, AC = CE e a medida dos ângulos ABC 19°, ACB 53° e DFE 90° e DEF 41°, o comprimento do estrado da cama, quando está paralelo ao chão, é

a) 1,60 m
b) 1,75 m
c) 1,88 m
d) 1,92 m
e) 2,00 m

A medida, em cm, do raio da circunferência traçado com o compasso é

a) 5 3.
b) 8 3.
c) 9 3.
d) 13 3.

A medida do menor lado desse terreno, em metros, é

a) 45 2
b) 45 6
c) 15 3
d) 30 3
e) 90 3

Na situação descrita, a medida de RA é

a) 3 3 m
b) 4 3 m
c) 5 2 m
d) 3 2 m
e) 4 2 m

A medida, em graus, do maior dos ângulos internos de um triângulo, cujas medidas dos lados são, respectivamente, 3 m, 5 m e 7 m, é

a) 120.
b) 80.
c) 130.
d) 100.

Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB 3 cm, BC 7 cm e CA 8 cm. A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento do segmento NK, em cm, é

a) 2.
b) 2 2.
c) 3.
d) 2 3.
e) 7 2.

Considere que o quadrado ABCD, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1cm, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual a

a) 3 cm.
b) 2 cm.
c) 5 cm.
d) 6 cm.

Considerando que R seja a medida do raio da circunferência que envolve os hexágonos regulares na figura anterior, é correto afirmar que cada um deles tem perímetro igual a

a) R 6.
b) 6R 5 5.
c) 3R 2.
d) 4R 3.
e) 6R 7 7.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

a) 0 90α   
b) 90α  
c) 90 180α   
d) 180α  
e) 180 360α   

Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 30°α e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB 2000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

a) 1000 m.
b) 1000√3 m.
c) 2000√3 m.
d) 2000 m.
e) 2000√3 m.

Uma estimativa para o ângulo de inclinação α quando dado em grau, é tal que

a) 0° ≤ α < 1,0°
b) 1,0° ≤ α < 1,5°
c) 1,5° ≤ α < 1,8°
d) 1,8° ≤ α < 2,0°
e) 2,0° ≤ α < 3,0°

Se a medida dos ângulos agudos COD e OAB é x, o comprimento da linha poligonal ABCDE vale:

a) r(sen x cos x)
b) 2r
c) r sen x
d) r cos x
e) 2r (cos x sen x)

O prefeito de uma cidade turística pretende construir um teleférico unindo o parque cultural ao topo de uma montanha de 200 m de altura, como mostra a figura abaixo. Considerando que a plataforma de embarque do teleférico deve estar a uma altura de 5 m do chão e que o pico da montanha possa ser observado sob um ângulo de 30°, determine a distância percorrida pelo teleférico do ponto de embarque ao topo da montanha.

a) 350 m
b) 370 m
c) 390 m
d) 410 m

Em um triângulo isósceles, os lados de mesma medida formam um ângulo de 40° e medem 7 cm cada. Se denotarmos por w a medida, em cm, do terceiro lado do triângulo, é verdade que

a) w sen(20°) = 7
b) w sen(40°) = 7
c) w sen(20°) = 14
d) 2w sen(40°) = 7
e) 2w sen(20°) = 7

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Na figura abaixo, o círculo de centro O tem raio r e os triângulos ABO e ODC são retângulos. Se a medida dos ângulos agudos COD e OAB é x, o comprimento da linha poligonal ABCDE vale:a) r(sen x cos x)+b) 2rc) r sen xd) r cos xe) 2r (cos x sen x)-

Em um triângulo isósceles, os lados de mesma medida formam um ângulo de 40° e medem 7 cm cada. Se denotarmos por w a medida, em cm, do terceiro lado do triângulo, é verdade quea) w sen(20°) = 7b) w sen(40°) = 7c) w sen(20°) = 14d) 2w sen(40°) = 7e) 2w sen(20°) = 7

O Hindu Bhaskara, ao demonstrar o Teorema da Pitágoras, utilizou uma figura em que ABCD e EFGH são quadrados, conforme mostrado abaixo. Se este quadrado ABCD tem lado de medida 3 cm e o ângulo ∠ACH mede 60°, então, a área de EFGH, em cm², éa) 3√3/2b) 3√3/2c) 3√3d) 3√3/2

A medida, em cm, do raio da circunferência traçado com o compasso éa) 5 3.b) 8 3.c) 9 3.d) 13 3.

A medida do menor lado desse terreno, em metros, éa) 45 2b) 45 6c) 15 3d) 30 3e) 90 3

Na situação descrita, a medida de RA éa) 3 3 mb) 4 3 mc) 5 2 md) 3 2 me) 4 2 m

A medida, em graus, do maior dos ângulos internos de um triângulo, cujas medidas dos lados são, respectivamente, 3 m, 5 m e 7 m, éa) 120.b) 80.c) 130.d) 100.

Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB 3 cm, BC 7 cm e CA 8 cm. A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento do segmento NK, em cm, éa) 2.b) 2 2.c) 3.d) 2 3.e) 7 2.

Considere que o quadrado ABCD, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1cm, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual aa) 3 cm.b) 2 cm.c) 5 cm.d) 6 cm.

Considerando que R seja a medida do raio da circunferência que envolve os hexágonos regulares na figura anterior, é correto afirmar que cada um deles tem perímetro igual aa) R 6.b) 6R 5 5.c) 3R 2.d) 4R 3.e) 6R 7 7.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, poisa) 0 90α   b) 90α  c) 90 180α   d) 180α  e) 180 360α   

Uma estimativa para o ângulo de inclinação α quando dado em grau, é tal quea) 0° ≤ α < 1,0°b) 1,0° ≤ α < 1,5°c) 1,5° ≤ α < 1,8°d) 1,8° ≤ α < 2,0°e) 2,0° ≤ α < 3,0°

Se a medida dos ângulos agudos COD e OAB é x, o comprimento da linha poligonal ABCDE vale:a) r(sen x cos x)b) 2rc) r sen xd) r cos xe) 2r (cos x sen x)

Em um triângulo isósceles, os lados de mesma medida formam um ângulo de 40° e medem 7 cm cada. Se denotarmos por w a medida, em cm, do terceiro lado do triângulo, é verdade quea) w sen(20°) = 7b) w sen(40°) = 7c) w sen(20°) = 14d) 2w sen(40°) = 7e) 2w sen(20°) = 7

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a) r(sen x cos x)+
b) 2r
c) r sen x
d) r cos x
e) 2r (cos x sen x)-

Em um triângulo isósceles, os lados de mesma medida formam um ângulo de 40° e medem 7 cm cada. Se denotarmos por w a medida, em cm, do terceiro lado do triângulo, é verdade que

a) w sen(20°) = 7
b) w sen(40°) = 7
c) w sen(20°) = 14
d) 2w sen(40°) = 7
e) 2w sen(20°) = 7

O Hindu Bhaskara, ao demonstrar o Teorema da Pitágoras, utilizou uma figura em que ABCD e EFGH são quadrados, conforme mostrado abaixo. Se este quadrado ABCD tem lado de medida 3 cm e o ângulo ∠ACH mede 60°, então, a área de EFGH, em cm², é

a) 3√3/2
b) 3√3/2
c) 3√3
d) 3√3/2

A medida, em cm, do raio da circunferência traçado com o compasso é

a) 5 3.
b) 8 3.
c) 9 3.
d) 13 3.

A medida do menor lado desse terreno, em metros, é

a) 45 2
b) 45 6
c) 15 3
d) 30 3
e) 90 3

Na situação descrita, a medida de RA é

a) 3 3 m
b) 4 3 m
c) 5 2 m
d) 3 2 m
e) 4 2 m

A medida, em graus, do maior dos ângulos internos de um triângulo, cujas medidas dos lados são, respectivamente, 3 m, 5 m e 7 m, é

a) 120.
b) 80.
c) 130.
d) 100.

Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB 3 cm, BC 7 cm e CA 8 cm. A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento do segmento NK, em cm, é

a) 2.
b) 2 2.
c) 3.
d) 2 3.
e) 7 2.

Considere que o quadrado ABCD, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1cm, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual a

a) 3 cm.
b) 2 cm.
c) 5 cm.
d) 6 cm.

Considerando que R seja a medida do raio da circunferência que envolve os hexágonos regulares na figura anterior, é correto afirmar que cada um deles tem perímetro igual a

a) R 6.
b) 6R 5 5.
c) 3R 2.
d) 4R 3.
e) 6R 7 7.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

a) 0 90α   
b) 90α  
c) 90 180α   
d) 180α  
e) 180 360α   

Uma estimativa para o ângulo de inclinação α quando dado em grau, é tal que

a) 0° ≤ α < 1,0°
b) 1,0° ≤ α < 1,5°
c) 1,5° ≤ α < 1,8°
d) 1,8° ≤ α < 2,0°
e) 2,0° ≤ α < 3,0°

Se a medida dos ângulos agudos COD e OAB é x, o comprimento da linha poligonal ABCDE vale:

a) r(sen x cos x)
b) 2r
c) r sen x
d) r cos x
e) 2r (cos x sen x)

Em um triângulo isósceles, os lados de mesma medida formam um ângulo de 40° e medem 7 cm cada. Se denotarmos por w a medida, em cm, do terceiro lado do triângulo, é verdade que

a) w sen(20°) = 7
b) w sen(40°) = 7
c) w sen(20°) = 14
d) 2w sen(40°) = 7
e) 2w sen(20°) = 7