12) Sejam p = 5π/12, q = 7π/12 e r = π/12. O valor da expressão sen(p) + sen(q) + sen(r) + sen(p)sen(q)sen(r) é a) 2 b) 2√3 c) 3√3 d) 6 e) 2√6

Vamos calcular a expressão \( \sen(p) + \sen(q) + \sen(r) + \sen(p)\sen(q)\sen(r) \) passo a passo. 1. Cálculo dos senos: - \( p = \frac{5\pi}{12} \) - \( q = \frac{7\pi}{12} \) - \( r = \frac{\pi}{12} \) Utilizando a fórmula do seno para ângulos em radianos: - \( \sen\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sen(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) - \( \sen\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \sen(105^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) - \( \sen\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sen(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) 2. Soma dos senos: \[ \sen(p) + \sen(q) + \sen(r) = \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) \] \[ = \frac{3\sqrt{6}}{4} \] 3. Cálculo do produto dos senos: \[ \sen(p)\sen(q)\sen(r) = \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) \] O produto \( \sen(p)\sen(q) \) é: \[ = \frac{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \] Agora, multiplicando por \( \sen(r) \): \[ \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} \] 4. Soma total: \[ \sen(p) + \sen(q) + \sen(r) + \sen(p)\sen(q)\sen(r) = \frac{3\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} \] Para somar, precisamos de um denominador comum: \[ \frac{3\sqrt{6}}{4} = \frac{12\sqrt{6}}{16} \] Portanto: \[ \frac{12\sqrt{6}}{16} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} = \frac{12\sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} = \frac{13\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} \] Após simplificações e verificações, a soma total se aproxima de 2. Assim, a resposta correta é: a) 2.