Para mostrar que a integral de uma função par no intervalo simétrico [-a, a] é igual a duas vezes a integral de 0 até a, e que a integral de uma função ímpar nesse mesmo intervalo é igual a zero, podemos utilizar a propriedade de paridade das funções. Se f for uma função par, temos que f(-x) = f(x) para todo x no intervalo [-a, a]. Assim, podemos reescrever a integral de -a até a como a integral de 0 até a de f(x) mais a integral de 0 até -a de f(x). Como f é par, a integral de -a até 0 de f(x) é igual à integral de 0 até a de f(x), resultando em 2 vezes a integral de 0 até a de f(x). Por outro lado, se f for uma função ímpar, temos que f(-x) = -f(x) para todo x no intervalo [-a, a]. Nesse caso, ao integrar de -a até a, a contribuição de f(x) e f(-x) se cancela, resultando em uma integral igual a zero. Dessa forma, podemos concluir que a integral de uma função par no intervalo simétrico é igual a duas vezes a integral de 0 até a, e que a integral de uma função ímpar nesse intervalo é igual a zero.