Grátis: Questão 3 Propriedade 218. A soma de funções convexas é uma função convexa. Demonstração. Temos que mostrar que (f + g)(t1a1 + t2a2) ≤ t1(f...

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ano passado

Para demonstrar que a soma de funções convexas é uma função convexa, é necessário mostrar que para quaisquer \( a_1 \) e \( a_2 \) e \( t_1, t_2 \) tais que \( t_1 + t_2 = 1 \), a desigualdade \( (f + g)(t_1a_1 + t_2a_2) \leq t_1(f + g)(a_1) + t_2(f + g)(a_2) \) é satisfeita. A partir da propriedade de convexidade das funções \( f \) e \( g \), é possível chegar a essa conclusão, demonstrando assim que a soma de funções convexas resulta em uma função convexa.

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Soluções de Análise Real

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Questão 3 Propriedade 5. Seja A ̸= ∅ subconjunto de N , com propriedade
n,m ∈ A⇔ m,m+ n ∈ A
então existe t ∈ N tal que A = {tn | n ∈ N}.
Demonstração. A é não vazio, então ele possui um elemento mı́nimo t. Primeiro
vamos mostrar que B = {tn | n ∈ N} ⊂ A. t ∈ A, supondo tn ∈ A vamos mostrar que
t(n+ 1) ∈ A. A propriedade vale pois t(n+ 1) = tn+ t a adição é fechada em A. Então
os múltiplos de t pertencem ao conjunto A.
Agora dado um elemento m ∈ A, tomamos a divisão euclidiana de m por t, dáı existe
q ∈ N tal que m = q.t ou ∃r ∈ N tal que m = q.t + r. Se vale para todo m a primeira
possibilidade então A ⊂ B implicando A = B. Vamos mostrar que a segunda não ocorre.
Se m ∈ A é da forma qt + r, como qt ∈ A segue que r ∈ A, mas vale r < t o que
contraria a minimalidade de t, então essa possibilidade não pode acontecer e vale sempre
m = q.t .

Questão 4 Propriedade 6. Não existe x ∈ N tal que n < x < n+ 1.
Essa propriedade nos mostra que todo número natural diferente de 1 é sucessor de
algum outro número.
Demonstração. Suponha que exista x nas condições dadas, então x = n + p com p
natural, p não pode ser 1 e também não pode ser p > 1, pois de 1 < p somando n, segue
x < n+ 1 < n+ p chegaŕıamos em n+ p < n+ p que é falsa, resta então a possibilidade

Questão 1 a) Propriedade 8. Se B é finito e A ⊂ B então |A| ≤ |B|. (notação |A| é o número de elemento de A e A ( B significa que A é subconjunto próprio de B, isto é A ⊂ B e A ̸= B). Demonstração. Faremos o caso de B = In. Como A é subconjunto de um conjunto finito então ele é finito, seja então |A| = m, supondo por absurdo que m > n vale In ( Im e de A ⊂ In ( Im segue que A ( Im, isto é, A é subconjunto próprio de Im, porém como |A| = m, existe bijeção entre Im e A, absurdo! pois não pode existir bijeção entre um conjunto finito e sua parte própria.

Questão 1 c) Propriedade 10. Se A e B são conjuntos finitos não necessariamente disjuntos vale a relação |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|. Demonstração. Escrevemos A como a união disjunta A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), dáı |A| − |A ∩ B| = |A \B| agora escrevemos A ∪B = (A \B) ∪ B, união disjunta logo |A ∪ B| = |A \B|+ |B| usando a primeira expressão segue que |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|.

Questão 2 Propriedade 12. Se A e B são finitos e disjuntos com |A| = m e |B| = n entã̃o A× B é finito com |A×B| = m.n. Demonstração. Podemos escrever A×B = n∪ k=1 Ak onde Ak = A× {Bk} com |Ak| = m, logo |A×B| = | n∪ k=1 Ak| = n∑ k=1 |Ak| = m.n.

Questão 3 Propriedade 13. Seja |A| = n então |P (A)| = 2n. Demonstração. Por indução sobre n, se n = 1, então A = {a1} possui dois subconjuntos que são ∅ e {α1}. Suponha que qualquer conjunto qualquer B com n elementos tenha |P (B)| = 2n, vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos implica |P (C)| = 2n+1. Tomamos um elemento a ∈ C, C \ {a} possui 2n subconjuntos (por hipótese da indução), sk de k = 1 até k = 2n, que também são subconjuntos de C, porém podemos formar mais 2n subconjuntos de C com a união do elemento {a}, logo no total temos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois não temos nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.

Questão 4 Propriedade 16. Se A ̸= ∅ ⊂ N é limitado superiormente então A possui máximo. Demonstração. Seja B = {n ∈ N | n > x, ∀x ∈ A.} , B é um conjunto não vazio de números naturais, logo pelo prinćıpio da boa ordenação B possui um elemento mı́nimo, tal elemento não pode ser o número 1 então ele é sucessor de algum número natural, que denotaremos por t + 1, logo t tem que satisfazer uma das propriedades, existe y ∈ A tal que t < y ou existe y ∈ A tal que t = y . A primeira opção não pode valer pois teŕıamos t < y < t+1 que é absurdo . Vamos mostrar que tal y realmente é o máximo do conjunto. Seja z ̸= y elemento de A, então z < y, pois se t = y < z, então t < z < t + 1 que é absurdo.

Questão 2 Propriedade 20. Se A é infinito então existe função injetiva f : N → A. indutivamente. Tomamos inicialmente x1 ∈ A e definimos f(1) = x1 e para n ∈ N escolhemos xn+1 ∈ A\ n∪ k=1 {xk} definido f(n+1) = xn+1. A\ n∪ k=1 {xk} nunca é vazio pois A é infinito. f é injetora pois tomando m > n tem-se f(n) ∈ m−1∪ k=1 {xk} e f(m) ∈ A\ m−1∪ k=1 {xk}.

Análise Matemática

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Questão 2 Propriedade 12. Se A e B são finitos e disjuntos com |A| = m e |B| = n entã̃o A× B é finito com |A×B| = m.n. Demonstração. Podemos escrever A×B = n∪ k=1 Ak onde Ak = A× {Bk} com |Ak| = m, logo |A×B| = | n∪ k=1 Ak| = n∑ k=1 |Ak| = m.n.

Propriedade 32.
(bd)−1 = b−1.d−1.
Demonstração.
(bd)−1.bd = 1
b−1.d−1.b.d = 1
logo (bd)−1 = b−1.d−1. por unicidade de inverso .

Propriedade 33.
a
b
.
c
d
=
ac
bd
.
Demonstração.
a
b
.
c
d
= a.b−1.c.d−1 = ac.b−1.d−1 = ac.(bd)−1 =
ac
bd
.

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Questão 2 Propriedade 12. Se A e B são finitos e disjuntos com |A| = m e |B| = n entã̃o A× B é finito com |A×B| = m.n. Demonstração. Podemos escrever A×B = n∪ k=1 Ak onde Ak = A× {Bk} com |Ak| = m, logo |A×B| = | n∪ k=1 Ak| = n∑ k=1 |Ak| = m.n.

Propriedade 32.(bd)−1 = b−1.d−1.Demonstração.(bd)−1.bd = 1b−1.d−1.b.d = 1logo (bd)−1 = b−1.d−1. por unicidade de inverso .

Propriedade 33.ab.cd=acbd.Demonstração.ab.cd= a.b−1.c.d−1 = ac.b−1.d−1 = ac.(bd)−1 =acbd.

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Propriedade 32.
(bd)−1 = b−1.d−1.
Demonstração.
(bd)−1.bd = 1
b−1.d−1.b.d = 1
logo (bd)−1 = b−1.d−1. por unicidade de inverso .

Propriedade 33.
a
b
.
c
d
=
ac
bd
.
Demonstração.
a
b
.
c
d
= a.b−1.c.d−1 = ac.b−1.d−1 = ac.(bd)−1 =
ac
bd
.