Grátis: Calcule a integral ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx. Utilizamos a substituição u = 1 + ln(x) para resolver a integral. a) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = 2√(1 + ln(...

Cálculo

Colégio Objetivo

Calcule a integral ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx.
Utilizamos a substituição u = 1 + ln(x) para resolver a integral.
a) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = 2√(1 + ln(x)) + C.
b) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = ln(x) + C.
c) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = e^(ln(x)) + C.

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Para resolver essa integral, a substituição \( u = 1 + \ln(x) \) é uma boa estratégia. Vamos calcular a derivada de \( u \) em relação a \( x \) para encontrar \( du \): \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + \ln(x)) = \frac{d\ln(x)}{dx} = \frac{1}{x} \) Assim, \( du = \frac{1}{x} dx \). Substituindo \( u \) e \( du \) na integral dada, temos: \( \int \frac{1}{x\sqrt{1 + \ln(x)}} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|1 + \ln(x)| + C \). Portanto, a alternativa correta é: b) \( \int \frac{1}{x\sqrt{1 + \ln(x)}} dx = \ln|1 + \ln(x)| + C \).

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Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = 9 - x^2 - y^2 e o plano z = 0.
Calculamos a integral tripla da função 9 - x^2 - y^2 sobre o domínio do círculo unitário no plano xy.
a) O volume é 36π.
b) O volume é 18π.
c) O volume é 9π.

Encontre a derivada de f(x) = arctan(e^x).
Aplicamos a regra da derivada da função inversa para resolver a derivada da função dada.
a) f'(x) = e^x/(1 + (e^x)^2).
b) f'(x) = e^x/(1 - (e^x)^2).
c) f'(x) = e^x/(1 - e^(2x)).

Determine os pontos críticos da função f(x,y) = e^(xy).
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem, igualamos a zero e encontramos os pontos críticos.
a) O único ponto crítico é (0,0).
b) O único ponto crítico é (1,1).
c) Não existem pontos críticos.

Calcule a integral ∫ x^2/√(4 - x^2) dx.
Utilizamos a substituição trigonométrica x = 2sin(θ) para resolver a integral.
a) ∫ x^2/√(4 - x^2) dx = 1/2 (x√(4 - x^2) + 2arcsin(x/2)) + C.
b) ∫ x^2/√(4 - x^2) dx = x√(4 - x^2) + C.
c) ∫ x^2/√(4 - x^2) dx = 2arcsin(x) + C.

Determine a equação da reta tangente à curva y = cos(x) no ponto onde x = π/4.
Calculamos a derivada da função e a equação da reta tangente usando a fórmula y - y1 = f'(x1)(x - x1).
a) A equação da reta tangente é y = √2/2 x + √2/2.
b) A equação da reta tangente é y = -√2/2 x + √2/2.
c) A equação da reta tangente é y = √2/2 x - √2/2.

Determine se a série ∑ (-1)^n/n converge ou diverge.
Usamos o teste da série alternada para testar a convergência da série.
a) Converge (é a série alternada de ln(2)).
b) Diverge.
c) Converge (é a série alternada de π).

Calcule a área da região entre as curvas y = e^x e y = ln(x) de x = 1 a x = e.
Determinamos os pontos de interseção das curvas e aplicamos a fórmula da área entre duas curvas.
a) A área é e - 1.
b) A área é ln(e) - ln(1).
c) A área é e^2 - 1.

Calcule a integral ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx.
Completamos o quadrado no denominador e utilizamos a substituição u = x + 2 para resolver a integral.
a) ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx = √(x^2 + 4x - 1) + C.
b) ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx = ln(x) + C.
c) ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx = e^(x + 2) + C.

Calcule a integral ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx.
Utilizamos a substituição u = 1 + ln(x) para resolver a integral.
a) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = 2√(1 + ln(x)) + C
b) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = ln(x) + C
c) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = e^x + C

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Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = 9 - x^2 - y^2 e o plano z = 0.Calculamos a integral tripla da função 9 - x^2 - y^2 sobre o domínio do círculo unitário no plano xy.a) O volume é 36π.b) O volume é 18π.c) O volume é 9π.

Encontre a derivada de f(x) = arctan(e^x).Aplicamos a regra da derivada da função inversa para resolver a derivada da função dada.a) f'(x) = e^x/(1 + (e^x)^2).b) f'(x) = e^x/(1 - (e^x)^2).c) f'(x) = e^x/(1 - e^(2x)).

Determine os pontos críticos da função f(x,y) = e^(xy).Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem, igualamos a zero e encontramos os pontos críticos.a) O único ponto crítico é (0,0).b) O único ponto crítico é (1,1).c) Não existem pontos críticos.

Calcule a integral ∫ x^2/√(4 - x^2) dx.Utilizamos a substituição trigonométrica x = 2sin(θ) para resolver a integral.a) ∫ x^2/√(4 - x^2) dx = 1/2 (x√(4 - x^2) + 2arcsin(x/2)) + C.b) ∫ x^2/√(4 - x^2) dx = x√(4 - x^2) + C.c) ∫ x^2/√(4 - x^2) dx = 2arcsin(x) + C.

Determine se a série ∑ (-1)^n/n converge ou diverge.Usamos o teste da série alternada para testar a convergência da série.a) Converge (é a série alternada de ln(2)).b) Diverge.c) Converge (é a série alternada de π).

Calcule a área da região entre as curvas y = e^x e y = ln(x) de x = 1 a x = e.Determinamos os pontos de interseção das curvas e aplicamos a fórmula da área entre duas curvas.a) A área é e - 1.b) A área é ln(e) - ln(1).c) A área é e^2 - 1.

Calcule a integral ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx.Completamos o quadrado no denominador e utilizamos a substituição u = x + 2 para resolver a integral.a) ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx = √(x^2 + 4x - 1) + C.b) ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx = ln(x) + C.c) ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx = e^(x + 2) + C.

Calcule a integral ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx.Utilizamos a substituição u = 1 + ln(x) para resolver a integral.a) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = 2√(1 + ln(x)) + Cb) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = ln(x) + Cc) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = e^x + C

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Calculamos a integral tripla da função 9 - x^2 - y^2 sobre o domínio do círculo unitário no plano xy.
a) O volume é 36π.
b) O volume é 18π.
c) O volume é 9π.

Encontre a derivada de f(x) = arctan(e^x).
Aplicamos a regra da derivada da função inversa para resolver a derivada da função dada.
a) f'(x) = e^x/(1 + (e^x)^2).
b) f'(x) = e^x/(1 - (e^x)^2).
c) f'(x) = e^x/(1 - e^(2x)).

Determine os pontos críticos da função f(x,y) = e^(xy).
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem, igualamos a zero e encontramos os pontos críticos.
a) O único ponto crítico é (0,0).
b) O único ponto crítico é (1,1).
c) Não existem pontos críticos.

Calcule a integral ∫ x^2/√(4 - x^2) dx.
Utilizamos a substituição trigonométrica x = 2sin(θ) para resolver a integral.
a) ∫ x^2/√(4 - x^2) dx = 1/2 (x√(4 - x^2) + 2arcsin(x/2)) + C.
b) ∫ x^2/√(4 - x^2) dx = x√(4 - x^2) + C.
c) ∫ x^2/√(4 - x^2) dx = 2arcsin(x) + C.

Determine se a série ∑ (-1)^n/n converge ou diverge.
Usamos o teste da série alternada para testar a convergência da série.
a) Converge (é a série alternada de ln(2)).
b) Diverge.
c) Converge (é a série alternada de π).

Calcule a área da região entre as curvas y = e^x e y = ln(x) de x = 1 a x = e.
Determinamos os pontos de interseção das curvas e aplicamos a fórmula da área entre duas curvas.
a) A área é e - 1.
b) A área é ln(e) - ln(1).
c) A área é e^2 - 1.

Calcule a integral ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx.
Completamos o quadrado no denominador e utilizamos a substituição u = x + 2 para resolver a integral.
a) ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx = √(x^2 + 4x - 1) + C.
b) ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx = ln(x) + C.
c) ∫ x/√(x^2 + 4x - 1) dx = e^(x + 2) + C.

Calcule a integral ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx.
Utilizamos a substituição u = 1 + ln(x) para resolver a integral.
a) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = 2√(1 + ln(x)) + C
b) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = ln(x) + C
c) ∫ 1/(x√(1 + ln(x))) dx = e^x + C