Para resolver a equação diferencial \((x+y)dx - xdy = 0\), podemos reescrevê-la na forma: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x} \] Isso simplifica para: \[ \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{y}{x} \] Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis ou um fator integrante. No entanto, como você mencionou um fator de integração \(\mu(x,y) = \frac{1}{x}\), podemos multiplicar a equação original por esse fator para torná-la exata. Após aplicar o fator de integração, a equação se torna: \[ \frac{(x+y)}{x}dx - dy = 0 \] Agora, podemos integrar para encontrar a solução. A solução geral da equação diferencial pode ser expressa como: \[ \ln(x+y) + C = 0 \] Analisando as alternativas: a) \(e^{x} + c = 0\) - Não é uma solução correta. b) \(y + x + c = 0\) - Não é uma solução correta. c) \(\ln(x+y) + c = 0\) - Esta é a solução correta. d) \(y = x \ln(x) + xc\) - Não é uma solução correta. e) \(\ln(y) + x + c = 0\) - Não é uma solução correta. Portanto, a alternativa correta é: c) \(\ln(x+y) + c = 0\).